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イメージでわかる中学受験算数
問題 （穎明館中学 受験問題 2020年 算数）
難易度★★★☆
上の図のように、１辺が３０ｃｍ と２４ｃｍ の
２つの正方形を組み合わせた図形があります。
点Ｐは毎秒５ｃｍの速さで辺ＡＢをＡからＢまで、
点Ｑは毎秒４ｃｍの速さで辺ＣＤをＣからＤまで
移動します。２点Ｐ，Ｑが同時に出発するとき、
次の問に答えなさい。
（１）色のついた部分の面積は何ｃ㎡ ですか。
（２）線分ＰＱが辺ＡＢと垂直になるのは何秒後
ですか。
（３）線分ＰＱが、この図形全体の面積を２等分
するのは何秒後ですか。
問題 （豊島岡女子学園中学 2020年 算数）
難易度★★★
１辺の長さが１ｃｍ の正方形ＡＢＣＤがあります。
はじめに、頂点Ａに２つの点Ｐ，Ｑがあり、Ｐ，Ｑ
は正方形の辺上を次の①、②をくり返して動いて
いきます。
①点Ｐは、サイコロを１回投げたときに、今いる
頂点から出発し、次の長さだけ時計回りに動く。
１の目が出れば１ｃｍ
２の目が出れば２ｃｍ
３の目が出れば３ｃｍ
４の目が出れば４ｃｍ
５の目が出れば５ｃｍ
６の目が出れば６ｃｍ
②点Ｑは、点Ｐが頂点Ａで止まる、または頂点Ａ
を通過するごとに、今いる頂点から出発し、時計
回りに１ｃｍだけ動き、それ以外のときは動かない。
例えば、サイコロを１回投げて３の目が出たとき、
点Ｐは頂点Ｂ，Ｃを通過し、頂点Ｄで止まります。
このとき、点Ｑは動きません。さらにサイコロを
１回投げて５の目が出たとき、点Ｐは頂点Ｄを出発
して頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを通過して頂点Ａで止まり
ます。このとき、点Qは点Ｐが頂点Ａを通過した
ときに頂点Ａを出発し、頂点Ｂで止まり、点Ｐが
頂点Ａで止まったときに頂点Ｂを出発し、頂点Ｃで
止まります。このとき、次の問に答えなさい。
（１）サイコロを２回投げたとき、出た目の合計が
９になりました。このとき、点Ｐ，Ｑは最後にそれ
ぞれどの頂点で止まりましたか。
（２）点Ｑが頂点Ｂで３回止まるには、少なくとも
サイコロを何回投げればよいですか。
（３）サイコロを何回か投げたところ、出た目の
合計が３００になりました。このとき、点Ｑが
頂点Ｂで止まった回数は何回ですか。
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問題 （栄東中学 入試問題 2015年 算数） 難易度★★★★
下の図のように、直径４ｃｍの半円１つと、直径２ｃｍの半円１つ
と、直径１ｃｍの半円２つを組み合わせた図形があります。いま、
点Ｐ、Ｑは同時に点Ａを出発して、この図形の周上を点Ｐは時計
回りに、点Ｑは点Ｐが移動する２分の１の速さで反時計回りに
移動します。２点Ｐ，Ｑが移動後に初めて重なるときの位置を
点Ｃ とし、３点Ｐ，Ｏ，Ｑが移動後に初めて一直線上に並ぶ
ときの点Ｐ，Ｑの位置をそれぞれ点Ｄ，Ｅ とします。このとき
次の問に答えなさい。
（１）点Ｃ の位置を図に示しなさい。
（２）角ＣＯＤの大きさを求めなさい。
（３）三角形ＯＥＣ と四角形ＡＣＢＤの面積の比を最も簡単な
整数の比で表しなさい。
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問題 （海陽中等教育学校 入試問題 2015年 算数）
難易度★★★★
ある恒星Ｓ の周りを惑星Ａ と惑星Ｂ がＳ を中心とする
円を描いて移動しています。Ａ は１００日で、Ｂは３００日で
Ｓを一周します。また、Ｓ と Ａ と Ｂ は同じ平面上にあり、
Ａ と Ｂ は同じ向きに回っているものとします。Ｓ とＡ とＢ
が一直線に並ぶのは下の図の２つの場合があります。
場合１ Ｓ と Ａ と Ｂ がこの順に並ぶ場合
場合２ Ｂ と Ｓ と Ａ がこの順に並ぶ場合
今日、ちょうど場合1の状態になっているものとして、
次の問に答えなさい。
（１）次に、はじめて場合２になるのは、今日から数えて
何日後ですか。明日は１日後とします。
（２）次に、はじめて場合１になるのは、今日から数えて
何日後ですか。
（３）５回目に場合２になるのは、今日から数えて何日後
ですか。
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問題 （豊島岡女子学園中学 入試問題 2014年 算数）
難易度★★★☆
上の図１のように平行四辺形ＡＢＣＤ があり、その中にある点を
Ｏ とします。点Ｐ は平行四辺形ＡＢＣＤ の辺の上を点Ａ から
出発し、４秒後に点Ｂ，９秒後に点Ｃ、その後、点Ｄ，点Ａ の順に
一定の速さで一周し、２点Ｏ と Ｐ をまっすぐに結んだ線が通過
した部分に色がついていきます。下の図２は、色のついた部分
の面積と時間の関係を表すグラフです。このとき、次の問に
答えなさい。
（１）図２の □ にあてはまる数を求めなさい。
（２）下の図３のように、点Ｏ から辺ＣＤ に垂直な線を引き、
この線と辺ＣＤ が交わる点を Ｈ とします。また、点Ｏ
から辺ＡＤ に垂直な線を引き、この線と辺ＡＤ が交わる
点を Ｉ とします。このとき、ＯＨ ： Ｏ Ｉ を求めなさい。
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問題 （栄光学園中学 受験問題 2009年 算数）
難易度★★★★
下の図のように、１辺の長さが１ｃｍの正三角形ＡＢＣがあります。
その周上には左回りにグルグル回る３つの点Ｐ，Ｑ，Ｒ があり、
点Ｐは毎秒１１/６ｃｍ、点Ｑは毎秒１４/９ｃｍ、点Ｒは毎秒１ｃｍ
の速さで動きます。いま、点Ｐは頂点Ａから、点Ｑは頂点Ｂから、
点Ｒは頂点Ｃから同時にスタートしました。次の問に答えなさい。
（１）３点Ｐ，Ｑ，Ｒを結んでも三角形にならない場合があります。
初めてそのような場合になるのは、スタートしてから何秒後
ですか。
（２）スタートしてから次に３点ともはじめの頂点（点ＰはＡ，点Ｑ
はＢ，点ＲはＣ）に戻るのは何秒後ですか。
（３）スタートしてから最初に三角形ＰＱＲが正三角形になるのは
何秒後ですか。ただし、３点Ｐ，Ｑ，Ｒのいずれも頂点Ａ，Ｂ，
Ｃにない場合とします。
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問題 （開成中学 入試問題 2008年 算数） 難易度★★★
１辺の長さが１０ｃｍ の正方形ＡＢＣＤ があります。下の図の
Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ は正方形の各辺のまん中の点であり、ＯはＥＦ
とＧＨ が交わった点です。点Ｐは点Ａから秒速１ｃｍで、
Ａ → Ｅ → Ｏ → Ｆ → Ｃ → Ｇ → Ｏ → Ｈ → Ａ
と移動します。また、点Ｑは点Ｐ と同時に点Ａを出発して
正方形ＡＢＣＤ の周上を点Ｐより速い一定の速さで時計
回りに周ります。このとき、次の問に答えなさい。
（１）点Ｐが正方形ＡＢＣＤ の周上を動いている間の移動の
様子を下の図２のグラフに書きなさい。ただし、点Ｐが
正方形ＡＢＣＤ の周上を動いていない時間は何も
書きこんではいけません。
（２）点Ｑは出発してから２周目にＣＦ上の点Ｃから１ｃｍの
地点で点Ｐと初めて重なりました。点Ｑの速さは秒速
何ｃｍ ですか。また、点Ｐと点Ｑが出発してから２回目
に重なるのは、どの地点ですか。
（どの辺上の、どの点から何ｃｍ）
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問題 （暁星国際中学 入試問題 2012年 算数） 難易度★★
下の図のような長方形ＡＢＣＤ において、点Ｐは点Ａを出発し、
毎秒２ｃｍでＡＤ間を何度も往復し、点Ｑは点Ｃを点Ｐと同時に
出発し、毎秒３ｃｍでＢＣ間を何度も往復し続けます。四角形
ＰＡＢＱの面積をＸｃ㎡、四角形ＱＣＤＰの面積をＹｃ㎡ とします。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）ＰＱがＡＢと初めて平行になるのは出発してから
何秒後ですか。
（２）ＰＱがＡＢと２回目に平行になるときの Ｘ ： Ｙ を
最も簡単な整数比で答えなさい。
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問題 （関西学院中学部 受験問題 2012年 算数）
難易度★★★
下の図１のような台形ＡＢＣＤ があり、点Ｐ は辺ＡＤ上を毎秒１ｃｍ
の速さで、点Ｑは辺ＢＣ上を毎秒２ｃｍ の速さで何度も往復します。
点Ｐ はＡを、点Ｑ はＢを同時に出発します。図２のグラフは
点Ｐ，Ｑが出発してからの時間と、４点Ａ，Ｂ，Ｑ，Ｐによって
作られる図形の面積の関係を表したものです。出発してから
１５秒後の４点Ａ，Ｂ，Ｑ，Ｐ によって作られる図形の面積を
求めなさい。
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