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イメージでわかる中学受験算数
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３回目の作業を終えたとき、初めて元の並びに戻ります。
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）１～９までのカードを使った場合、何回目の作業を終えたとき
元の並びに戻りますか。
（２）１～１００までのカードを使った場合、作業の途中でカードの
並びの一部分が、下のようになっていました。これは何回目の
作業を終えたときですか。
・ ・ ・ 【２】 【３４】 【６６】 ・ ・ ・
（３）１～１２８までのカードを使った場合、何回目の作業を終えた
とき、初めて【２】のカードが元の場所に戻りますか。
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問題 （豊島岡女子学園中学 受験問題 2014年 算数）
難易度★★★
ある機械 Ｘ があります。この機械 Ｘ は、整数が書かれたカード
を入れると、
【カードに書かれた整数を５で割り、商と余りを加える】
という計算をして、その計算の答えが書かれたカードを出します。
ただし、機械 Ｘ は、商も余りも整数で計算をして、割り切れるとき
は余りを ０ として計算します。この機械 Ｘ にカードを入れ、出て
きたカードに書かれた整数が ５ より小さくなるまで、出てきた
カードをさらに機械 Ｘ に入れるという作業を行います。
たとえば、【１２１】と書かれたカードを機械 Ｘ に入れると、【２５】
と書かれたカードが出てきます。２５ は ５ より大きいので、その
出てきたカードをさらに機械 Ｘ に入れると、【５】と書かれたカード
が出てきます。５ は ５ と等しいので、その出てきたカードをもう
一度機械 Ｘ に入れると、【１】と書かれたカードが出てきます。
１ は ５ より小さいので、ここで作業が終了します。したがって、
最初のカードに書かれた整数が【１２１】のとき、作業を終了する
までに機械 Ｘ に ３回カードを入れることになります。このとき、
次の問に答えなさい。
（１）最初のカードに書かれた整数が【２７７】のとき、作業を終了
するまでに機械 Ｘ に何回カードを入れることになりますか。
（２）最初のカードに書かれた整数が 【 ア 】のとき、２回目に
カードを入れたところ、【４】のカードが出てきて作業が終了
します。このとき、【 ア 】に当てはまる整数として考えられる
数は、全部で何個ありますか。
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問題 （芝中学 受験問題 2014年 算数） 難易度★★★
２種類の花火を次のような条件①、②で打ち上げます。
① 花火【スター】は、３秒おきに点火し、点火してから４秒後に
花火が開きます。
② 花火【ムーン】は、２秒おきに点火し、点火してから２秒後に
花火が開きます。
ただし、【スター】と【ムーン】の２種類の花火が同時に開いて
しまうときには、【ムーン】の点火を見送ります。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）２つの花火を同時に点火しはじめてから、最初の１分間に
何発の花火を見ることができますか。
（２）【スター】と【ムーン】合わせて １００発の花火が開くのに
２つの花火を同時に点火しはじめてから、何分何秒
かかりますか。
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問題 （慶應義塾中等部 受験問題 2014年 算数）
難易度★★★
ある池に ２つの噴水Ａ，Ｂがあります。噴水Ａは、水を６０秒間
ふき出して、３０秒間ふき出すのをやめ、以後これをくり返します。
噴水Ｂは、水を８０秒間ふき出して、７０秒間ふき出すのをやめ、
以後これをくり返します。このとき、次の問に答えなさい。
（１）噴水Ａ，Ｂが同時に水をふき出し始めてから、次に同時に
ふき出し始めるまでに、何分何秒かかりますか。
（２）噴水Ａ，Ｂが同時に水をふき出し始めてから２８分間で、
２つの噴水が同時にふき出している時間の合計は何分何秒
ですか。
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問題 （浅野中学 受験問題 2014年 算数） 難易度★★★
１から６の番号のついた箱がそれぞれ１つずつあります。
これらの箱の中に、ＡからＦ までの文字が書かれた玉を、
はじめにＡ は１の箱に、Ｂは２の箱に、Ｃは３の箱に、Ｄは
４の箱に、Ｅ は５の箱に、Ｆ は６の箱に１つずつ入れます。
こららの箱の中の玉に対し、次の操作を行います。
【操作】
１から３の番号の箱の中の玉は、箱の番号を２倍した番号の
箱へ移します。４から６の番号の箱の中の玉は、１３から箱の
番号の２倍を引いた番号の箱へ移します。
この操作を３回くり返した後の、６の箱に入っている玉に
書かれている文字を答えなさい。
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問題 （渋谷教育学園渋谷中学 入試問題 2013年 算数）
難易度★★★
４つの数、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ を次のルールで決めます。
＜ルール＞
Ａ は、１より大きい整数とする。
Ｂ は、Ａ どうしの積（Ａ×Ａ）から、Ａ どうしの和（Ａ＋Ａ）を
引いた数とする。
Ｃ は、Ｂ どうしの積から、Ｂ どうしの和を引いた数とする。
Ｄ は、Ｃ どうしの積から、Ｃ どうしの和を引いた数とする。
たとえば、Ａ を５とすると、
５×５－（５＋５）＝１５ より、Ｂ＝１５
１５×１５－（１５＋１５）＝１９５ より、Ｃ＝１９５
１９５×１９５－（１９５＋１９５）＝３７６３５ より、Ｄ＝３７６３５
となります。このとき、次の問に答えなさい。
（１）Ａ を４としたとき、Ｄ を求めなさい。
（２）Ａ をある数にすると、４つの数Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ がすべて等しく
なります。Ａ はいくつですか。
（３）次のア～エについて、いつでも成り立つものには○、
成り立たないときがあるものいは×で答えなさい。
ア ： Ａ を１００より小さい数とすると、Ｂは９０００より小さい
イ ： Ｂ は差が ２ である２つの整数の積になっている
ウ ： Ａ を奇数とすると、Ｂ，Ｃ，Ｄ もすべて奇数になる
エ ： Ａ の一の位の数字が１のとき、Ｃ の一の位の数字は
３ になる
（４）４４０×４３８＝１９２７２０ です。Ｃ が１９２７２０ のとき、
Ａ はいくつですか。
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問題 （豊島岡女子学園中学 入試問題 2005年 算数）
難易度★★★
与えられた整数の各位の数字を、大きい順に並べかえた数と
小さい順に並べかえた数の差を求める操作を考えます。例えば
２０３ は各位の数字を小さい順に並べると、０２３ になりますが、
これは ２３ と考え、操作を１回行うと、
３２０－２３＝２９７
となります。また、７１９ にこの操作を２回行うと、
１回目 ： ９７１－１７９＝７９２
２回目 ： ９７２－２７９＝６９３
となります。このとき、次の問に答えなさい。
（１）１９７７ にこの操作を１回行ったとき、操作の後の数を
答えなさい。
（２）ある ３ケタの数にこの操作を２回行いました。１回目の
操作の後、３ケタの各位の数の和は １８、積が １６２ に
なりました。このとき、２回目の操作の後の数を答えなさい。
（３）（２）の後、さらにこの操作を ２００５回行いました。操作の
後の数を答えなさい。
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問題 （筑波大学附属駒場中学 2002年 入試問題 算数）
難易度★★★
ある数に対して、次のような操作を行います。
---------------------------------------------
その数が、
ア ： １ケタのとき、その数に同じ数をかける
イ ： ２ケタのとき、
（十の位の数）×（十の位の数）
＋（一の位の数）×（一の位の数）を計算する
ウ ： ３ケタのとき、
（百の位の数）×（百の位の数）
＋（十の位の数）×（十の位の数）
＋（一の位の数）×（一の位の数）を計算する
---------------------------------------------
上の操作を１回と数え、操作の結果できた数に対して、この操作を
くり返し行います。
たとえば、最初の数が「５」のとき、
１回目の操作 ： ５×５＝２５
２回目の操作 ： ２×２＋５×５＝２９
３回目の操作 ： ２×２＋９×９＝８５
となります。このとき、次の問に答えなさい。
（１）最初の数が「４」のとき、１０回目の操作の結果を答えなさい。
（２）最初の数が「３」のとき、２００回目の操作の結果を答えなさい。
（３）最初の数が「２」から「９」までのいずれかの整数のとき、
１回目から２００２回目までの操作の結果に出てくる
２００２個の数の合計について考えます。この合計が
最も小さくなるのは、最初の数がいくつのときですか。
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問題 （灘中学 入試問題 2013年 算数） 難易度★★
８ケタの整数 １２３４５６７８ に下のような操作を １００回 続けて
行ってできる整数を答えなさい。
【操作】
左から １，２，３，４，５，６，７，８ 番目の数字をそれぞれ左から
２，４，６，８，１，３，５，７ 番目に移す。つまり、ＡＢＣＤＥＦＧＨ を
ＥＡＦＢＧＣＨＤ にする。
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