立体図形の展開図 第５３問 （渋谷教育学園渋谷中学 受験問題 2014年（平成26年度） 算数）

問題　（渋谷教育学園渋谷中学　受験問題　2014年　算数）

　　　　 難易度★★★★★

辺の長さが等しい正方形と正三角形があります。

この正方形６個と正三角形８個を組み合わせて、

下の図１のような展開図になる図２のような立体を

作りました。

　　　　　

このとき、次の問に答えなさい。

（１）この立体の辺の数を答えなさい。

（２）この立体を正方形ＡＢＣＤの真上から見たときの図を

　　 描きなさい。

（３）この展開図から立体を作ったとき、図１の展開図で

　　 点Ｐ と重なる点すべてに○印をつけなさい。

（４）正方形１個の面積が１８ｃ㎡ のとき、この立体の

　　 体積を求めなさい。

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最短ルート 第１１問 （城北中学 受験問題 2014年（平成26年度） 算数）

問題　（城北中学　受験問題　2014年　算数）　難易度★★★

　　　　　　

上の図は１辺が５ｃｍの立方体で、辺ＡＢ上にＡＰの長さが

１ｃｍ となる点Ｐ を、辺ＢＦ上に点Ｑをとります。

ＰＱ＋ＱＧ が最も小さくなるとき、ＢＱの長さは何ｃｍですか。

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立体図形の切り口 第６４問 （駒場東邦中学 受験問題 2014年（平成26年度） 算数）

問題　（駒場東邦中学　受験問題　2014年　算数）　

　　　　 難易度★★★★

下の図のような １辺の長さが ２ｃｍ の立方体をいくつかの

平面で切って作られる立体について考えます。

　　　　　

この立方体を３点Ａ，Ｃ，Ｆ を通る平面と、３点Ａ，Ｃ，Ｈ を

通る平面で切って、面ＥＦＧＨ を含む方を１つ目の立体

とします。２つ目の立体は、この立方体を３点Ａ，Ｃ，Ｆ を

通る平面、３点Ａ，Ｃ，Ｈを通る平面、３点Ｂ，Ｄ，Ｅ を通る

平面と３点Ｂ，Ｄ，Ｇ を通る平面で切って、面ＥＦＧＨ を含む

方の立体とします。角すいの体積は、底面積×高さ÷３ で

求められるものとして、次の問に答えなさい。

（１）１つ目の立体の体積を求めなさい。

（２）２つ目の立体の面は、どのような図形がいくつあるか

　　 答えなさい。たとえば、１つ目の立体は展開図が下の図２

　　 のようになるので、

　　【正方形１つ、正三角形２つ、直角二等辺三角形４つ】

　　 となります。

　　　

（３）１つ目の立体の表面積から、２つ目の立体の表面積を

　　 引いた値を求めなさい。

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立体図形の展開図 第５２問 （筑波大学附属中学 受験問題 2012年（平成24年度） 算数）

問題　（筑波大学附属中学　受験問題　2012年　算数）

　　　　 難易度★★★

　　　　　　

上の図は、底面が正方形である直方体の展開図です。

長方形ＡＢＣＤ の面積は ４２０ｃ㎡ です。この立体の

体積が最も小さくなるときのＡＢの長さを求めなさい。

ただし、各辺の長さは整数で、ＡＢの長さはＡＤの長さ

よりも長いものとします。

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立体図形の展開図 第５１問 組み立てて切る （清風南海中学 受験問題 2010年（平成22年度） 算数）

問題　（清風南海中学　受験問題　2010年　算数）　難易度★★

下の図のような展開図を組み立てて、三角すいＯ－ＡＢＣ を

作ります。３点Ｏ，Ｈ，Ｂ を通る平面でこの三角すいを切断して

２つの立体に分けたところ、体積の比は ３ ： ５、体積の差は

１．７５ｃ㎥ になりました。ＡＣ＝５ｃｍのとき、三角形ＯＨＢの

面積を求めなさい。

　 三角すいの体積＝底面積×高さ÷３ として求められます。

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最短ルート 第１０問 （大阪桐蔭中学 入試問題 2006年（平成18年度） 算数）

問題　（大阪桐蔭中学　入試問題　2006年　算数）　難易度★★★

下の図のような底面の半径が５ｃｍの円すいがあります。

　　　　　　

（１）この円すいの表面積を求めなさい。

（２）図のように、底面の円の上の点Ａ から、頂点Ｏ と Ａ の

　　 まん中の点Ｂまでひもを巻きつけます。ひもの長さが最も

　　 短くなるようにして、この円すいをＯＡ で切り開いて作った

　　 展開図の扇形を、このひもが巻きついてできた線で切って

　　 できる２つの図形のうち、点Ｏ を含む方の面積を求めなさい。

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最短ルート 第９問 （鎌倉学園中学 受験問題 2013年（平成25年度） 算数）

問題　（鎌倉学園中学　受験問題　2013年　算数）　

　　　　 難易度★★★☆

下の図のような底面の直径ＡＢ が４ｃｍ、母線の長さが

１８ｃｍ の円すいがあります。Ａ から円すいの周りを

１周半してＢ までひもをかけます。底面の円の中心を

Ｏとして、次の問に答えなさい。

　　　　　

（１）底面の円の円周の長さを求めなさい。

（２）円すいの表面積を求めなさい。

（３）ひもの長さが最も短くなるときの長さを答えなさい。

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立体図形の展開図 第５０問 （栄光学園中学 入試問題 2013年（平成25年度） 算数）

問題　（栄光学園中学　入試問題　2013年　算数）　

　　　　 難易度★★★★

いくつかの立方体でできた立体の展開図について考えます。

折り目となるところは細線 ― で、切れ目となるところは太線

― で表すと、下の図１の立体の展開図は、図２のように

なります。

　　　　　　

（１）下の図３、図５の立体の展開図を、それぞれ図４、図６の

　　 細線 ― の一部を太線 ― に変えて完成させなさい。

　　　　　　

　　　　　　

（２）下の図７の立体の展開図を、図８の点線の一部を

　　 細線 ― や太線 ― に変えて完成させなさい。

　　　　　　

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立体図形の展開図 第４９問 （栄光学園中学 受験問題 2012年（平成24年度） 算数）

問題　（栄光学園中学　受験問題　2012年　算数）　

　　　　 難易度★★★☆

（１）４つの面が正三角形である三角すいの展開図として

　　考えられるものをすべて挙げなさい。ただし、回転したり、

　　ひっくり返したりして重なるものは、同じ展開図とみなします。

（２）下の図のように、底面が正方形で４つの側面がすべて

　　 正三角形である四角すいと、その展開図を考えます。

　

　　 考えられる展開図は、上の図の例のほかに７つあります。

　　 それをすべて挙げなさい。ただし、回転したり、ひっくり

　　 返したりして重なるものは、同じ展開図とみなします。

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最短ルート 第８問 （函館ラ・サール中学 入試問題 2011年（平成23年度） 算数）

問題　（函館ラ・サール中学　入試問題　2011年　算数）

　　　　 難易度★★★

下の図１のような円すいがあります。図２はこの円すいの展開図

です。この円すいの側面上に、点Ａ から点Ｂ まで糸が最短に

なるように巻くと、糸の長さは２５ｃｍ になりました。このとき、

次の問に答えなさい。

　　

（１）底面の円の半径は何ｃｍですか。

（２）糸上の点と、点Ｏを結んだ線のうち、一番短い線の長さは

　　 何ｃｍ ですか。

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