計算問題 第１１３問 （東大寺学園中学 入試問題 2020年（令和2年度） 算数）

問題　（東大寺学園中学　入試問題　2020年　算数）
　　　　難易度★★★★★

次の式の□にあてはまる数を求めなさい。

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場合の数 並べ方 第８３問 （東大寺学園中学 入試問題 2016年（平成28年度） 算数）

問題　（東大寺学園中学　入試問題　2016年　算数）

　　　　 難易度★★★

３種類の数字１，２，３を次の規則①、②、③に従って、左から

順に一列に並べます。

　 規則①　１の次は ３

　 規則②　２の次は ２ または ３

　 規則③　３の次は １ または ２ または ３

例えば、２個の数字を並べるとき、１３，２２，２３，３１，３２，３３ の

６通りの並べ方があります。このとき、次の問に答えなさい。

（１）４個の数字を並べるとき、左から１番目と４番目が２となる

　　 並べ方は全部で何通りありますか。

（２）１０個の数字を並べるとき、左から１，４，１０番目が２となり、

　　 左から７番目が１となる並べ方は全部で何通りありますか。

（３）１０個の数字を並べるとき、左から１，４，１０番目が２となる

　　 並べ方は全部で何通りありますか。

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計算問題 第１００問 約束記号 （東大寺学園中学 受験問題 2010年（平成22年度） 算数）

問題　（東大寺学園中学　受験問題　2010年　算数）　

　　　　 難易度★★

整数Ａ のなかに現れる ０ の個数をＮ（Ａ）と表します。

たとえば、Ｎ（１０００）＝３、Ｎ（２０１０）＝２ です。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）１から１９９までの整数のなかに現れる ０ の個数の和

　　 Ｎ（１）＋Ｎ（２）＋・・・＋Ｎ（１９９） を求めなさい。

（２）１０００から１９９９までの整数のなかに現れる ０ の個数

　　 の和 Ｎ（１０００）＋Ｎ（１００１）＋・・・＋Ｎ（１９９９） を

　　 求めなさい。

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立体図形の切り口 第６３問 （東大寺学園中学 入試問題 2014年（平成26年度） 算数）

問題　（東大寺学園中学　入試問題　2014年　算数）

　　　　 難易度★★★★★★

下の図のような ＡＢ＝２ｃｍ、ＡＤ＝３ｃｍ、ＡＥ＝４ｃｍ の

直方体ＡＢＣＥ－ＥＦＧＨ があります。このとき、次の問に

答えなさい。

　　　　　

（１）点Ｑ が ＣＨ上を自由に動くとき、ＡＱ を ＡＲ：ＲＱ＝２：１に

　　 分ける点 Ｒ が動くことのできる部分の長さは、ＣＨの長さの

　　 何倍ですか。

（２）点Ｐ は ＡＦ上を自由に動き、点Ｑは点Ｐ の動きとは無関係に

　　 ＣＨ上を自由に動きます。ＰＱを ＰＲ：ＲＱ＝２：１に分ける点を

　　 Ｒ とするとき、点 Ｒ が動くことのできる範囲は、どのような

　　 図形になりますか。最も適切な名称で答えなさい。また、

　　 その図形の面積を求めなさい。

（３）（ア）三角すいＡＣＦＨ の体積を求めなさい。

　　 　　 ただし、三角すいの体積は、底面積×高さ÷３ で

　　　　  求めることができます。

　　（イ）三角すいＡＣＦＨ と三角すいＢＤＥＧ の共通部分

　　　　 （どちらの三角すいにも含まれている部分）の体積を

　　　　 求めなさい。

（４）（２）で求めた図形のうち、（３）の（イ）の立体に含まれている

　　 部分の面積を求めなさい。

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場合の数 並べ方 第７３問 （東大寺学園中学 受験問題 2014年（平成26年度） 算数）

問題　（東大寺学園中学　受験問題　2014年　算数）

　　　　 難易度★★★★★★

下の図のように点Ｏを中心とする円と、その円周を１２等分した

点Ａ から点Ｌ までがあります。点Ｐ と直線Ｑ は、赤と青の

２種類のスイッチと連動して動くものとします。

　・最初、点Ｐは点Ａにあり、直線Ｑは直線ＢＨと重なっています。

　・赤のスイッチを押すと、直線Ｑを対称の軸として、点Ｐは

　 対応する点に動きます。

　・青のスイッチを押すと、直線Ｑが点Ｏを中心に時計回りに

　 ３０°回転した後、直線Ｑを対称の軸として、点Ｐは対応する

　 点に動きます。

　

たとえば、赤・青・青 とスイッチを押すと、点Ｐは Ａ→Ｃ→Ｃ→Ｅ

と動きます。このとき、次の問に答えなさい。

（１）２回スイッチを押した後、点Ｐはどの点にありますか。

　　 ありえるすべての点を答えなさい。

（２）１回目に赤のスイッチを押し、合計５回スイッチを押した後、

　　 点Ｐが点Ｇにあるようなスイッチの押し方をすべて答えなさい。

　　 答えは「赤青青赤赤」のように答えなさい。

（３）１３回スイッチを押した後、点Ｐが点Ｅ にあるようなスイッチの

　　 押し方は全部で何通りありますか。

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図形の移動 第５３問 （東大寺学園中学 入試問題 2014年（平成26年度） 算数）

問題　（東大寺学園中学　入試問題　2014年　算数）

　　　　 難易度★★★★

下の図１のような三角形ＡＢＣ と半径１ｃｍ の円Ｐ があります。

円Ｐを三角形ＡＢＣ の辺に沿って離れることなく、その内部を

一周させると、三角形ＡＢＣ の内部で円Ｐ が通らなかった

部分は、頂点Ａ，Ｂ，Ｃ の近くと中央の三角形ＤＥＦ の合わせて

４つあり、その面積は全部で ４７．８６ｃ㎡ でした。次に、円Ｐを

三角形ＤＥＦ の辺に沿って離れることなく、その外側を一周させた

ところ、三角形ＡＢＣ の内部で円Ｐ が通らなかった部分の面積

は全部で ５３．４４ｃ㎡ でした。このとき、次の問に答えなさい。

　　　

（１）（ア）三角形ＡＢＣ の内側を一周させたときに、円Ｐが

　　　　　通らなかった４つの部分のうち、頂点Ａ の近くの

　　　　　部分を下の図２に表しなさい。

　　　　　　

（１）（イ）三角形ＤＥＦ の外側を一周させたときに、円Ｐが

　　　　　通らなかった４つの部分のうち、頂点Ａ の近くの

　　　　　部分を下の図３に表しなさい。

　　　　　　

（２）三角形ＤＥＦ の面積を求めなさい。

（３）三角形ＡＢＣ の周りの長さは、三角形ＤＥＦ の周りの長さに

　　 比べて、どれだけ長いですか。

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図形の移動 第５０問 （東大寺学園中学 受験問題 2013年（平成25年度） 算数）

問題　（東大寺学園中学　受験問題　2013年　算数）

　　　　 難易度★★★★★

ＡＢ＝２ｃｍ、ＡＤ＝１ｃｍの長方形ＡＢＣＤ と、対角線の長さ

ＥＧ＝ＦＨ＝２ｃｍ の正方形ＥＦＧＨ があります。ＡＢのまん中の

点をＭ，ＣＤのまん中の点をＮとします。さらに、ＣとＭを通る

直線をＸ、Ｄを通りＸに平行な直線をＹとします。下の図１の

ように正方形ＥＦＧＨ をＥＦ がＹ上に、ＧＨがＸ上にあるように

動かすとき、次の問に答えなさい。

（１）２つの四角形の重なる部分が五角形になる場合に、重なる

　　 部分の面積が最も大きくなるとき、その面積を求めなさい。

（２）２つの四角形の重なる部分が三角形になる場合に、重なる

　　 部分の面積が最も大きくなるとき、その面積を求めなさい。

（３）下の図２は、正方形ＥＦＧＨが点線部分の正方形から太線

　　 部分の正方形Ｅ’Ｆ’Ｇ’Ｈ’まで移動した図です。ただし、

　　 ＡはＦＧ上、ＮはＥＨ上にあるものとし、Ｆ’Ｇ’とＤＡ が交わる

　　 点をＰ、Ｆ’Ｇ’ＡＢが交わる点をＱ，Ｅ’Ｈ’とＤＣが交わる点を

　　 Ｒとします。三角形ＡＰＱと四角形ＮＨＨ’Ｒ の面積が等しく

　　 なるとき、三角形ＡＰＱの面積を求めなさい。

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食塩水の濃度 第２２問 （東大寺学園中学 入試問題 2013年（平成25年度） 算数）

問題　（東大寺学園中学　入試問題　2013年　算数）　難易度★

濃度が ７％の食塩水ア を A ｇ と 食塩水イ を B ｇ 混ぜると、

濃度が ６％の食塩水ができました。次に、ア を B ｇ と

イ を A ｇ 混ぜると、濃度が ５％の食塩水ができました。

このとき、食塩水イ の濃度を求めなさい。

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場合の数 並べ方 第６７問 （東大寺学園中学 受験問題 2013年（平成25年度） 算数）

問題　（東大寺学園中学　受験問題　2013年　算数）　難易度★★

３ケタの整数 Ｎ に対し、その各位の数の和を Ｓ と表します。

たとえば、Ｎ＝７８４ のとき、Ｓ＝７＋８＋４＝１９ となります。

Ｎ－Ｓ の一の位が ５ になったとき、Ｎ として考えられる整数は

全部で何個ありますか。

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積み木の問題 第２９問 （東大寺学園中学 入試問題 2013年（平成25年度） 算数）

問題　（東大寺学園中学　入試問題　2013年　算数）　

　　　　 難易度★★★★★★

赤色、青色、黄色の３種類の粘土を用いて、下の図１の立体ア、

イ、ウをたくさん作りました。

立体ア　：　赤色粘土で作る。

　　　　　　　三角形ＰＱＲ，ＯＰＱ，ＯＱＲ，ＯＲＰ を面とする立体で、

　　　　　　　ＯＰ，ＯＱ，ＯＲ はどの２つも垂直で、ＯＰ＝ＯＱ＝ＯＲ

立体イ　：　４つの面が、立体アの三角形ＰＱＲと合同な正三角形

　　　　　　　である立体

立体ウ　：　立体アの三角形ＰＱＲと合同な正三角形４つと、

　　　　　　　正方形１つを面とする立体

立体アを８個、イを８個、ウを６個すき間なくくっつけて、下の図２の

ように中身のつまった立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨを作りました。ただし、

下の図２には、すべての実線、点線が描かれているわけでは

ありません。このとき、次の問に答えなさい。

（１）立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨ を Ａ，Ｅ，Ｇ を通る平面で切断したときの

　　 切り口となる長方形ＡＥＧＣ の色分けの様子を、下の図３の例

　　 のように描きなさい。

　　　　　　　　　

（２）図２の正三角形ＸＹＺ を１つの面とする青色粘土でできた１つの

　　 立体イを、Ａ，Ｃ，Ｆ を通る平面で切断したとき、この青色粘土の

　　 切り口の面積は、正三角形ＡＣＦ の面積の何倍ですか。

（３）立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨ を Ａ，Ｃ，Ｆ を通る平面で切断したときの

　　 切り口となる正三角形ＡＣＦ の色分けの様子を（１）と同様に

　　 下の図４に描きなさい。

　　　　

（４）立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨ を４回切断して４つの三角形ＡＣＦ，

　　 三角形ＡＣＨ，三角形ＡＦＨ，三角形ＣＦＨ を面とする

　　 立体エ を作りました。立体エの中で、青色粘土で作られた

　　 部分の体積は、立体エの体積の何倍ですか。

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