場合の数 第８８問 （聖光学院中学 受験問題 2022年（令和４年度） 算数）

問題　（聖光学院中学　受験問題　2022年　算数）　難易度★★★★☆
　
１～５までの整数が書かれた赤、白、青の３色の玉が
１個ずつ、合計１５個あります。

このとき次の問に答えなさい。

（１）１５個の玉の中から５個の玉を選んで一列に
　　　並べる並べ方のうち、左から順に赤、赤、白、
　　　白、白と並ぶような並べ方は全部で何通り
　　　ありますか。

（２）１５個の玉の中から３個の玉を選んで一列に
　　　並べます。球に書かれた数字を左から順に
　　　百の位、十の位、一の位として３ケタの数を
　　　作るとき、
　（ア）３ケタの数が１４４となるような玉の並べ
　　　　方は何通りありますか。
　（イ）３ケタの数が１８の倍数となるような玉の
　　　　並べ方は全部で何通りありますか。

（３）１５個の玉の中から４個の玉を選んで一列に
　　　並べ、玉に書かれた数字を左から順に千の位、
　　　百の位、十の位、一の位として４ケタの数を
　　　作ることを考えます。いま、ある４個の玉を
　　　選んだところ、それぞれの並べ方から作られる
　　　数の総和は 106656 となりました。玉に書か
　　　れている４つの数の組み合わせとして考えられ
　　　るものを、下の例のかたちで全て答えなさい。
　
　　　（例）３，２，２，４　
　　　　　　　　　→　小さい順に【２，２，３，４】

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数の性質 第１０５問（聖光学院中学 入試問題 2021年（令和３年度） 算数）

問題　（聖光学院中学　入試問題　2021年　算数）
　　　　難易度★★★★

４ケタの整数Ｍと４ケタの整数Ｎがあります。
この２つの整数について次の性質の一部、
もしくは全部が成り立っています。

性質①　Ｍを４倍するとＮになる。
性質②　Ｍの千の位とＮの百の位は等しく、
　　　　また、Ｍの百の位とＮの千の位は等しい。
性質③　Ｍの十の位とＮの一の位は等しく、
　　　　また、Ｍの一の位とＮの十の位は等しい。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）性質①が成り立つとき、Ｍとして考えられる
　　　整数は何個ですか。
（２）性質①と性質②が成り立つとき、Ｍの十の位
　　　以下を切り捨てた値として考えられる整数を
　　　すべて答えなさい。
（３）性質①と性質②と性質③が成り立つとき、
　　　Ｍとして考えられる整数をすべて答えなさい。

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立体図形の体積 第５２問 （投影図） （聖光学院中学 2020年（令和２年度） 算数）

問題　（聖光学院中学　2020年　算数）
　　　　難易度★★★★

下の図１のような１辺の長さが１０ｃｍ の立方体
ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨについて、次の問に答えなさい。

（１）立方体の辺上または内部に点Ｐ，Ｑ，R を
とって、７つの点Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈを
頂点とし、三角形ＰＱＲ、正方形ＥＦＧＨと
いくつかの多角形を面にもつ立体Ｘを考えます。
この立体Ｘを【あ】の方向から見ると図２、
【い】の方向から見ると図３、【う】の方向から
見ると図４のように見えます。図３、図４で
ＰとＱは重なって見えていて、辺ＤＨの真ん中の
点とも重なって見えます。また、Ｒは辺ＤＧに
重なって見えます。

（ア）立体Ｘを【え】の方向から見たときの図を
描きなさい。

（イ）立体Ｘの面の数はいくつですか。

（ウ）立体Ｘの体積は何ｃ㎥ ですか。

（２）立方体の内部に２点Ｓ，Ｔをとり、図１の
【あ】、【い】の方向からこの２点を見ると、
下の図５のように見えます。２つの図で、Ｓ，Ｔは
正方形の対角線を３等分する点とします。

 
このとき４点Ｆ，Ｇ，Ｔ，Ｓを頂点とする立体Ｙ
の体積は 何ｃ㎥ ですか。

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文章題 第９６問 仕事算 （聖光学院中学 受験問題 2014年（平成26年度） 算数）

問題　（聖光学院中学　受験問題　2014年　算数）　

　　　　 難易度★★★★

聖さん、光さんが２つの仕事Ａ，Ｂに取り組みます。

聖さんだけで仕事Ａ を終わらせるには６０分、仕事Ｂ を

終わらせるには８０分かかり、光さんだけで仕事Ａ を

終わらせるには１００分、仕事Ｂ を終わらせるには１２０分

かかります。いま、以下の規則に従って、聖さん、光さんが

２つの仕事Ａ，Ｂに同時に取り組み始めました。

　規則１　１つの仕事に２人で同時に取り組むことはできない。

　規則２　仕事が２つとも残っているときには、２人ともどちらか

　　　　　　に取り組む

　規則３　仕事が１つだけ残っているときには、２人のうち

　　　　　　どちらかが取り組む

　規則４　仕事の途中で聖さんと光さんは入れかわることが

　　　　　　できる

このとき、次の問に答えなさい。ただし、入れかわるのにかかる

時間は考えないものとします。

（１）仕事Ａ を終わらせるのにかかった時間が７０分だったと

　　 すると、聖さんが仕事Ａ に取り組んだ時間は何分ですか。

　　 また、２人が仕事を始めてから仕事Ｂ を終わらせるまで

　　 にかかった時間は何分以上何分何秒以下ですか。

（２）仕事Ａ，Ｂを同時に終わらせたとすると、聖さんが仕事Ａ

　　 に取り組んでいた時間は何分ですか。また、仕事が終わった

　　 のは、２人が同時に仕事を始めてから何分何秒後ですか。

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速さ 第７４問 速さと比 （聖光学院中学 入試問題 2013年（平成25年度） 算数）

問題　（聖光学院中学　入試問題　2013年　算数）

　　　　 難易度★★★

Ａ君は５ｋｍ、Ｂ君は１２ｋｍ、Ｃ君は９ｋｍ を走りました。

３人の走った時間の合計は１時間４５分で、速さの比は

（Ａ君）：（Ｂ君）：（Ｃ君）＝２５：３２：３０ でした。このとき、

Ａ君の速さは毎時何ｋｍですか。

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規則性の問題 数の並び 第７４問 （聖光学院中学 受験問題 2013年 算数）

問題　（聖光学院中学　受験問題　2013年（平成25年度）　算数）

　　　　 難易度★★★★

２ケタの数を表示する機械Ａ があり、スイッチを入れると

１秒ごとに次の規則で数字が表示されます。

【規則】

　１０の位は、１，２，３，４，５，６，７，８ の順に１秒ごとに変わり、

　８の後はまた１に戻り、同じように変わります。

　１の位は、１，２，３，４，５，６，７，８，９，０ の順に１秒ごとに

　変わり、０の後はまた１に戻り、同じように変わります。

たとえば、スイッチを入れると１秒後に１１、２秒後に２２、

３秒後に３３が表示され、９秒後には１９、１０秒後には２０、

１１秒後には３１が表示されます。このとき、次の問に答えなさい。

（１）７３が初めて表示されるのは、スイッチを入れてから

　　 何秒後ですか。

（２）この機械Ａで表示することができる２ケタの数を１回ずつ

　　 すべて加えるといくつになりますか。

（３）同じように３ケタの数を表示する機械Ｂがあり、１０の位と

　　 １の位を表示する規則は機械Ａと同じで、１００の位は

　　 ７，６，５，４，３，２，１の順に１秒ごとに変わり、１の後は

　　 また７に戻り、同じように変わります。たとえば、スイッチ

　　 を入れると、１秒後に７１１、２秒後に６２２、８秒後には７８８

　　 が表示されます。

　　 （ア）７１１が２度目に表示されるのは、スイッチを入れてから

　　　　　何秒後ですか。

　　 （イ）７７３が初めて表示されるのは、スイッチを入れてから

　　　　　何秒後ですか。

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場合の数 第６６問 組み合わせ （聖光学院中学 入試問題 2011年（平成23年度） 算数）

問題　（聖光学院中学　入試問題　2011年　算数）

　　　　 難易度★★★★

１から ６までの目が書かれているサイコロを何回か振って、

そのときの出た目の数によって、お皿の上にあるケーキを

次々に等分していくことを考えます。ただし、１の目が出た

ときはお皿の上のケーキを新しいものに取りかえるものと

します。

たとえば、サイコロを２回振って、出た目が順に ３，２ の

ときは、まずケーキを３等分し、次にそれぞれのケーキを

さらに２等分します。サイコロを３回振って、出た目が順に

３，１，４ のときは、まずケーキを３等分し、次にお皿の上の

ケーキを新しいものに取りかえ、さらにそのケーキを４等分

します。（下の図１参照） このとき、次の問に答えなさい。

（１）サイコロを３回振ったところ、出た目の数は順にＡ，Ｂ，Ｃで、

　　 最後にできた１つのケーキの中心角は １５度でした。

　　 Ａ，Ｂ，Ｃ に入る数の入れ方は全部で何通りありますか。

（２）サイコロを３回振ったところ、最後にできた１つのケーキの

　　 中心角は３０度以６０度以下でした。

　　 （ア）１の目が１回出るときの目の出方は何通りありますか。

　　 （イ）目の出方は全部で何通りありますか。

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文章題 第６３問 （聖光学院中学 受験問題 2013年（平成25年度） 算数）

問題　（聖光学院中学　受験問題　2013年　算数）　

　　　　 難易度★★★★★

（１）水が入っている２つの容器 Ａ，Ｂ があります。Ａ の水の

　　 ４分の１を Ｂに移しました。その後、Ｂの水の４分の１を

　　 Ａ に移したところ、Ａ と Ｂ の水の量が同じになりました。

　　 このとき、最初に Ａ の容器に入っていた水の量は、Ｂの

　　 容器に入っていた水の量の何倍ですか。

（２）異なる量の水が入っている ３つの容器Ａ，Ｂ，Ｃ があります。

　　 Ａ の水の４分の１をＢに移し、次にＢの水の４分の１を Ｃ に

　　 移したところ、Ｂ の水の量は Ａ の水の量より ６Ｌ（リットル）

　　 多く、Ｃ の水の量は Ｂ の水の量より ４Ｌ 多くなりました。

　　 （ア）最後に容器Ｂ に入っている水の量は、最初に容器Ｂ に

　　　　　入っていた水の量と比べると、何Ｌ 減りましたか。

　　 （イ）容器Ａ と別のある容器（容器Ｂ または容器Ｃ ）の最初に

　　　　　入っていた水の量の差が ４Ｌ であったとき、３つの容器

　　　　　Ａ，Ｂ，Ｃ の最初に入っていた水の量の組み合わせを

　　　　　すべて求めなさい。答えの書き方は、たとえばＡ，Ｂ，Ｃが

　　　　　１Ｌ，２Ｌ，３Ｌ の場合、｛１，２，３｝のように書きなさい。

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平面図形の角度 第８０問 （聖光学院中学 入試問題 2012年（平成24年度） 算数）

問題　（聖光学院中学　入試問題　2012年　算数）　

　　　　 難易度★★★★

　下の図１のように半径１０ｃｍ、中心角９０度の扇形ＡＯＢ があり、

扇形の曲線ＡＢ を３等分した点を、Ａに近い方からＣ，Ｄ とします。

このとき、次の問に答えなさい。

　　　　　　

（１）下の図２のように点Ａ と点Ｃ を直線で結んだときにできる

　　 【　ア　】の部分の面積を求めなさい。

　　　　　　

（２）下の図３のように、ＯＡの真ん中の点Ｅ と点Ｄ を結び、

　　 点Ｏと点Ｃ を直線で結んでできる【　イ　】の部分の面積と

　　 【　ウ　】の部分の面積を比べたとき、どちらの面積の方が

　　 大きいか、説明しなさい。

　　　　　　

（３）下の図４のように点Ａ と点Ｃ を結んだ直線の延長上に

　　 ＡＦ＝１０ｃｍ となる点Ｆ をとり、点Ｆ と点Ｄ を結んだ直線の

　　 延長線とＯＢ との交点をＧ とするとき、角ＢＧＤ の大きさを

　　 求めなさい。

　　　　　　

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場合の数 第５８問 組み合わせ ３の倍数 （聖光学院中学 受験問題 2005年（平成17年度） 算数）

問題　（聖光学院中学　受験問題　2005年　算数）　

　　　　 難易度★★★☆

下のような１０個の整数があり、この中から２つの数を

選びます。このとき、次の問に答えなさい。

　１，１０，１１，１００，１０１，１１０，１１１，１０００，１００１，１０１０

（１）２つの数の選び方は全部で何組ありますか。

（２）２つの数の差が３の倍数になるのは何組ありますか。

（３）２つの数の和が３の倍数になるのは何組ありますか。

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