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2024年1月17日 (水)

平面図形の面積 第108問 (灘中学 入試問題 2023年(令和5年度) 算数)

問題 (灘中学 入試問題 2023年 算数) 難易度★★★★☆
 
0109_20240112184801 
図の四角形ABCD、BEFG、CHIE は全て
正方形です。また、点Fは辺AB上に、
点Iは辺AD上にあります。正方形CHIE
の面積が65c㎡、四角形AFEIと
三角形BCEの面積の和が56c㎡ のとき
正方形BEFGの面積を答えなさい。

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解答

まず、下の図1のように正方形CHIEを囲むように
正方形PQRSを作ると、4つの合同な直角三角形が
正方形CHIEの周りにできます。

 0110_20240116000701
次に、三角形BQEが直角二等辺三角形であるので、
BQ=QEとなります。

青い直角三角形が合同なので、QE=PIです。
また、BQ=APなので、AP=PIとわかります。

次に、QEは正方形BEFGの対角線の半分の長さ
なので、下の図2のように、同じ長さのところに
〇印をつけることができます。

 0111_20240116002801

図2で、AB=AD、BF=AIとなるので、
AF=IDということがわかります。

次に、AEを結ぶと三角形AEPと三角形IEPが
合同な三角形ということがわかります。

AFとIDに▽印をつけると下の図3のようになります。

 0112_20240116003901

次に、IからBCに垂線を下ろし、交点をTとすると
PI=QT、ID=TCとなり、下の図4のように
なります。

 0113_20240116004201

次に、EとTを結ぶと、下の図5のように
三角形AFEと三角形ETCが同じ面積に、
三角形BQEと三角形TQEが同じ面積に
それぞれなることがわかります。

 0114_20240116004701

三角形AFEの面積と三角形BQEの面積を
合わせると、三角形CEQと等しくなることが
わかります。

以上のことから、四角形AFEIと三角形BCE
の面積を合わせた56c㎡ は、正方形CHIEを
取り囲む4つの直角三角形の面積に等しいことが
わかり、正方形PQRSの面積は
  56+65=121c㎡
となるので、PQ=AB=BC=11cm です。

また、直角三角形CEQ の面積は
  56÷4=14c㎡
となります。

直角三角形CEQ で考えると、
 EQ×CQ÷2=14
 → EQ×CQ =28
   EQ+CQ =11
ということになり、
 EQ=4cm、CQ=7cm

よって、正方形BEFG の面積は、BF=8cm
なので、
 8×8÷2=32c㎡
と求められます。

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 灘中学の他の問題は → こちら

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