平面図形の面積 第１０８問 （灘中学 入試問題 2023年（令和５年度） 算数）

問題　（灘中学　入試問題　2023年　算数）　難易度★★★★☆
　
 
図の四角形ABCD、BEFG、CHIE は全て
正方形です。また、点Ｆは辺ＡＢ上に、
点Ｉは辺ＡＤ上にあります。正方形CHIE
の面積が６５ｃ㎡、四角形ＡＦＥＩと
三角形ＢＣＥの面積の和が５６ｃ㎡ のとき
正方形ＢＥＦＧの面積を答えなさい。

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解答

まず、下の図１のように正方形ＣＨＩＥを囲むように
正方形ＰＱＲＳを作ると、４つの合同な直角三角形が
正方形ＣＨＩＥの周りにできます。

　
次に、三角形ＢＱＥが直角二等辺三角形であるので、
ＢＱ＝ＱＥとなります。

青い直角三角形が合同なので、ＱＥ＝ＰＩです。
また、ＢＱ＝ＡＰなので、ＡＰ＝ＰＩとわかります。

次に、ＱＥは正方形ＢＥＦＧの対角線の半分の長さ
なので、下の図２のように、同じ長さのところに
〇印をつけることができます。

　

図２で、ＡＢ＝ＡＤ、ＢＦ＝ＡＩとなるので、
ＡＦ＝ＩＤということがわかります。

次に、ＡＥを結ぶと三角形ＡＥＰと三角形ＩＥＰが
合同な三角形ということがわかります。

ＡＦとＩＤに▽印をつけると下の図３のようになります。

　

次に、ＩからＢＣに垂線を下ろし、交点をＴとすると
ＰＩ＝ＱＴ、ＩＤ＝ＴＣとなり、下の図４のように
なります。

　

次に、ＥとＴを結ぶと、下の図５のように
三角形ＡＦＥと三角形ＥＴＣが同じ面積に、
三角形ＢＱＥと三角形ＴＱＥが同じ面積に
それぞれなることがわかります。

　

三角形ＡＦＥの面積と三角形ＢＱＥの面積を
合わせると、三角形ＣＥＱと等しくなることが
わかります。

以上のことから、四角形ＡＦＥＩと三角形ＢＣＥ
の面積を合わせた５６ｃ㎡ は、正方形ＣＨＩＥを
取り囲む４つの直角三角形の面積に等しいことが
わかり、正方形ＰＱＲＳの面積は
　　５６＋６５＝１２１ｃ㎡
となるので、ＰＱ＝ＡＢ＝ＢＣ＝１１ｃｍ です。

また、直角三角形ＣＥＱ の面積は
　　５６÷４＝１４ｃ㎡
となります。

直角三角形ＣＥＱ で考えると、
　ＥＱ×ＣＱ÷２＝１４
　→　ＥＱ×ＣＱ　＝２８
　　　ＥＱ＋ＣＱ　＝１１
ということになり、
　ＥＱ＝４cm、ＣＱ＝７cm

よって、正方形ＢＥＦＧ の面積は、ＢＦ＝８ｃｍ
なので、
　８×８÷２＝３２ｃ㎡
と求められます。

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