場合の数 第８８問 （聖光学院中学 受験問題 2022年（令和４年度） 算数）
問題 （聖光学院中学 受験問題 2022年 算数） 難易度★★★★☆
１～５までの整数が書かれた赤、白、青の３色の玉が
１個ずつ、合計１５個あります。
このとき次の問に答えなさい。
（１）１５個の玉の中から５個の玉を選んで一列に
並べる並べ方のうち、左から順に赤、赤、白、
白、白と並ぶような並べ方は全部で何通り
ありますか。
（２）１５個の玉の中から３個の玉を選んで一列に
並べます。球に書かれた数字を左から順に
百の位、十の位、一の位として３ケタの数を
作るとき、
（ア）３ケタの数が１４４となるような玉の並べ
方は何通りありますか。
（イ）３ケタの数が１８の倍数となるような玉の
並べ方は全部で何通りありますか。
（３）１５個の玉の中から４個の玉を選んで一列に
並べ、玉に書かれた数字を左から順に千の位、
百の位、十の位、一の位として４ケタの数を
作ることを考えます。いま、ある４個の玉を
選んだところ、それぞれの並べ方から作られる
数の総和は 106656 となりました。玉に書か
れている４つの数の組み合わせとして考えられ
るものを、下の例のかたちで全て答えなさい。
（例）３，２，２，４
→ 小さい順に【２，２，３，４】
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解答
（１）赤玉の並べ方が、５×４＝２０通り
白玉の並べ方が、５×４×３＝６０通り
なので、赤、赤、白、白、白 となる並べ方は、
２０×６０＝１２００通り
です。
（２）（ア）１の数が出るのは、赤、白、青の３通り
１回目の４の数になるのは、赤、白、青の３通り
２回目の４の数になるのは、３－１＝２通り
よって、１４４となるのは、３×３×２＝１８通り
です。
（２）（イ）１８の倍数は、９の倍数の中で
１の位が偶数のものです。
９の倍数は、それぞれの位の数の和が９の倍数に
なるものです。
１～５の数を使って３ケタの９の倍数を作ると、
（１，３，５）→全て奇数なので１８の倍数にならない
（１，４，４）
（２，２，５）
（２，３，４）
（３，３，３）→全て奇数なので１８の倍数にならない
となります。
（１，４，４）の組み合わせは、
１４４・・・（ア）より１８通り
４１４・・・同様に１８通り
４４１・・・奇数なので不適
（２，２，５）の組み合わせは、
２２５・・・奇数なので不適
２５２・・・１８通り
５２２・・・１８通り
（２，３，４）の組み合わせは、
２３４・・・３×３×３＝２７通り
４３２・・・２７通り
３２４・・・２７通り
３４２・・・２７通り
４２３・・・奇数なので不適
２４３・・・奇数なので不適
以上から、１８の倍数となる並べ方は、
１８×４＋２７×４＝１８０通り
です。
（３）４ケタの数を作るので、４つの数を
用います。
４つの数を 〇、✖、△、◇とします。
（〇、✖、△、◇は同じ数でもよいと考えます）
作られた４ケタの数のうち、千の位が〇のものは、
〇✖△◇
〇✖◇△
〇△✖◇
〇△◇✖
〇◇✖△
〇◇△✖
の６通りです。千の位が✖、△、◇もそれぞれ６通り
できるので、全部で２４通りが考えられます。
この２４通りの和が106656になります。
全てを筆算の足し算のように足すと、
千の位、百の位、十の位、一の位、それぞれで
〇、✖、△、◇ が共に６個ずつになります。
千の位の和は、
〇×6000＋✖×6000＋△×6000＋◇×6000
百の位の和は、
〇×600＋✖×600＋△×600＋◇×600
十の位の和は、
〇×60＋✖×60＋△×60＋◇×60
一の位の和は、
〇×６＋✖×６＋△×６＋◇×６
となるので、すべての和は、
〇×6666＋✖×6666＋△×6666＋◇×6666
＝（〇＋✖＋△＋◇）×6666
＝106656
ということなので、
〇＋✖＋△＋◇＝106656÷6666＝１６
となります。
和が１６になる４つの数の組み合わせは、
（１，５，５，５）、（２，４，５，５）、
（３，３，５，５）、（３，４，４，５）、
（４，４，４，４）
が考えられますが、（４，４，４，４）は
４は４つないので不適です。
よって、
（１，５，５，５）、（２，４，５，５）、
（３，３，５，５）、（３，４，４，５）
が答えとなります。
聖光学院中学の他の問題は → こちら
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