数の性質 第１０５問（聖光学院中学 入試問題 2021年（令和３年度） 算数）

問題　（聖光学院中学　入試問題　2021年　算数）
　　　　難易度★★★★

４ケタの整数Ｍと４ケタの整数Ｎがあります。
この２つの整数について次の性質の一部、
もしくは全部が成り立っています。

性質①　Ｍを４倍するとＮになる。
性質②　Ｍの千の位とＮの百の位は等しく、
　　　　また、Ｍの百の位とＮの千の位は等しい。
性質③　Ｍの十の位とＮの一の位は等しく、
　　　　また、Ｍの一の位とＮの十の位は等しい。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）性質①が成り立つとき、Ｍとして考えられる
　　　整数は何個ですか。
（２）性質①と性質②が成り立つとき、Ｍの十の位
　　　以下を切り捨てた値として考えられる整数を
　　　すべて答えなさい。
（３）性質①と性質②と性質③が成り立つとき、
　　　Ｍとして考えられる整数をすべて答えなさい。

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解答

（１）Ｍ×４＝Ｎで、Ｍ，Ｎが４ケタのとき、
Ｍの方がＮより小さいです。

２５００×４＝１００００なので、
Ｍは２５００より小さく、１０００以上で
あればよいです。

つまり、Ｍは１０００～２４９９までで、
　　２４９９－９９９＝１５００個
です。

　
　
（２）Ｍは千の位が１または２で、
１０００～２４９９までが考えられます。

４倍したときに、百の位と千の位が入れ代わり
Ｎになります。
　
また、Ｎの方が大きいので、Ｍの千の位の数は
百の位の数より小さいです。

千の位が１で百の位が２のとき、Ｍは
１２００～１２９９になり、４倍すると
１２◇◇　×　４　＝４８００～５１９６
です。
百の位と千の位がひっくり返って２１には
なりません。
　
千の位が１で百の位が３のとき、Ｍは
１３００～１３９９になり、４倍すると
１３◇◇　×　４　＝５２００～５５９６
です。
百の位と千の位がひっくり返って３１には
なりません。
　
このように考えて、たどっていくと、
１７００～１７９９のとき、４倍すると
１７◇◇　×　４＝６８００～７１９６
なので、条件に合います。

１７００の場合以外で条件に合うことは
ないです。

よって、答えは１７００です。
　
　
　
（３）７１００÷４＝１７７５　なので、
Ｍは１７７５～１７９９の中にあります。

４×１＝４
４×２＝８
４×３＝１２
４×４＝１６
４×５＝２０
４×６＝２４
４×７＝２８
４×８＝３２
４×９＝３６
のように、４の倍数の下１ケタは、４，８，２，６，０
をくり返します。

Ｍ＝１７◇△　とすると、Ｎ＝７１△◇　になるので、
◇＝２，４，６，８，０のどれかです。

Ｍが１７７５～１７９９の間にあるので、◇として
成り立つのは、８しかありません。よって、◇＝８

Ｍ＝１７８△、　Ｎ＝７１△８ になり、
４倍して下１ケタが８になるのは、２か７をかけた
ときなので、Ｍ＝１７８２か１７８７となりますが、
　１７８２×４＝７１２８
　１７８７×４＝７１４８
となるので、１７８７は不適切です。
　
よって、Ｍ＝１７８２です。
　

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