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2021年2月13日 (土)

平面図形の面積 第106問 (武蔵中学 受験問題 2021年(令和3年度) 算数)

問題 (武蔵中学 受験問題 2021年 算数)
    難易度★★★★

0092_20210208144901

上の図のような正六角形ABCDEFがあり、
その面積は10c㎡ です。BG=EHで、
GI:IC=2:3です。次の問に答えなさい。
 
(1)四角形ABDFの面積を求めなさい。

(2)三角形BGIの面積を求めなさい。

(3)三角形IDJの面積を求めなさい。

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解答

(1)下の図1のように正六角形に対角線を引き
交点をOとすると、
0093_20210208150101
三角形BCDの面積は三角形BOCの面積と等しく、
正六角形の1/6になります。

同様に三角形DEFも正六角形の1/6です。

よって、四角形ABDFの面積は
正六角形の面積の 1ー(1/6+1/6)=2/3
なので、
 10×2/3=20/3=6と2/3c㎡
と求められます。

 
(2)CFとGHの交点をPとして、下の図2の
ように三角形PCGと三角形PFHを比べると
0094_20210208153201
CG=FH、3つの角度がすべて等しいので、
二つの三角形は合同で、CP=PFです。
 
よって、図2の点Pと図1の点Oは同じ点と
わかります。(以後、点Oを点Pと表記します)

次に、下の図3の2つの三角形CIDと三角形PID
を比べます。
0095_20210208154601
CD=PD、DI共通、角CDI=角PDI
なので、2つの三角形は合同です。

よって、CI=PIとわかります。
GI:IC=GI:IP=2:3になります。

次に、下の図4の三角形BGIと三角形DPIを
比べると、2つの三角形は相似で、相似比が
2:3となり、BG=【2】、PD=【3】と
表すことができます。
0096_20210208160401
BC=PDなので、CG=【1】となります。
また、BI:ID=2:3です。

以上から、三角形BGIの面積を求めると、
 三角形BGIは三角形BCIの2/3
 三角形BCIは三角形BCDの2/5
 三角形BCDは正六角形の1/6
なので、
 10×1/6×2/5×2/3=4/9c㎡
と求められます。


(3)下の図5のように三角形PDJと三角形HFJを
比べると、3つの角度が等しく、PD=【3】、
HF=【1】なので、相似比が3:1の相似な三角形と
わかります。
0097_20210208162301
よって、PJ:JH=3:1です。
図2で、GP=PHなので、GH間の比を合わせる
 GI:IP:PJ:JH=8:12:15:5
となります。

(2)で、三角形BGIと三角形DPIが相似で、
相似比が2:3だったので、面積比は、
 2×2:3×3=4:9
なので、三角形DPIの面積は、
 4/9 × 9/4 = 1c㎡
です。

 三角形DPI:三角形IDJ
=12:12+15=12:27なので、
三角形IDJの面積は、
 1×27/12=9/4=2と1/4c㎡
と求められます。
 

武蔵中学の過去問題集は → こちら

武蔵中学の他の問題は → こちら

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