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2021年2月 6日 (土)

立体図形の切り口 第67問 (開成中学 入試問題 2021年(令和3年度) 算数)

問題 (開成中学 入試問題 2021年 算数)
    難易度★★★★

三角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3で
求めることができます。

1辺の長さが6cm の立方体の平行な4本の辺を
それぞれ6等分し、下の図のように記号を付けま
した。以下の問に答えなさい。
 0085_20210204214401
 
(1)4点き、G、a、gを頂点とする
   三角すいの体積を求めなさい。
(2)4点き、ウ、G、aを頂点とする
   三角すいの体積を求めなさい。
(3)4点い、オ、C、gを頂点とする
   三角すいの体積を求めなさい。

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解答

(1)4点き、G、a、gを頂点とする
三角すいは、下の図1のようになります。
 
 0086_20210204214901
 
底面が三角形きgG、高さが6cmの
三角すいなので、その体積は、
 6×6÷2×6÷3=36c㎥
と求められます。

 
(2)4点き、ウ、G、aを頂点とする
三角すいは、下の図2のようになります。
 
 0087_20210204215601

三角すい agきG と 三角すい ウきキG を
立方体から取り除きます。
 
2つの三角すいの体積は、
 6×6÷2×6÷3+6×6÷2×4÷3=60c㎥
です。

さらに、下の図3の赤い立体を2つ取り除きます。
 
 0088_20210204221701
 

この赤い立体は切断三角柱と考えることができます。
すなわち、三角柱【あアaーきキg】を面【aきウ】
で切断したとするものです。

切断三角柱の体積は、【底面積×高さの平均】なので、
 底面積=6×6÷2
 高さの平均=(6+2+0)÷3
より、
 赤い立体の体積=6×6÷2×8÷3=48c㎥
です。

ゆえに、4点き、ウ、G、aを頂点とする
三角すいの体積は、
 6×6×6-(60+48×2)
=216ー156
60c㎥
と求められます。


【別解】
赤い立体の【きウ】の線を延ばすと、【あア】の
延長と交わり、その交点をHとすると、下の図4の
ようになります。
 
 0089_20210204222301
 
赤い立体は、三角すい【あaHき】から青い部分を
取り除いたものです。

アHの長さは、三角形【Hアウ】と三角形【Hあき】
が相似なので、3cmです。

よって、赤い立体の体積は、
 6×9÷2×6÷3-3×6÷2×2÷3=48c㎥
となります。

ゆえに、4点き、ウ、G、aを頂点とする
三角すいの体積は、
 6×6×6-(60+48×2)
=216ー156
60c㎥
と求められます。
 
 
(3)4点い、オ、C、gを頂点とする三角すいは
下の図5のようになります。
 
0090_20210204224301
立方体から切断三角柱を4つ除くことで求められます。
下の図6のように赤、青、黄、紫の4つの三角形を
底面とした切断三角柱に分けられます。
 
  0091_20210204225402
 
赤、青、黄、紫ともに底面の三角形の面積は
等しく、6×6÷2=18c㎡ です。
 
赤い切断三角柱の平均の高さは、
 (1+2+4)÷3=7/3cm
黄色い切断三角柱の平均の高さは、
 (6+1+2)÷3=3cm
青い切断三角柱の平均の高さは、
 (2+0+5)÷3=7/3cm
紫色の切断三角柱の平均の高さは、
 (0+2+4)÷3=2cm
と、それぞれ求められたので、4つの切断三角柱の
体積は、
 18×(7/3+3+7/3+2)=174c㎥
です。

よって、図5の緑の三角すいの体積は、
 6×6×6ー174=42c㎥
と求められます。

 

 

  
 開成中学の他の問題は → こちら

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