数の性質 第１０４問 倍数（駒場東邦中学 受験問題 2021年（令和3年度） 算数）

問題　（駒場東邦中学　受験問題　2021年　算数）
　　　　難易度★★★★★

２０２１、６５６４のように、連続する２つの
２ケタの整数を並べてできた、４ケタの整数を
考えます。

（１）このような整数は全部で何個ありますか。

（２）このような整数すべての平均を求めなさい。

（３）このような４ケタの整数のうち、４７の
　　　倍数をすべて求めなさい。

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解答

（１）左側が小さく右側が大きい４ケタの整数
が、１０１１，１１１２、・・・、９８９９
まで、９８－９＝８９個あります。

同様に、左右を入れかえて、左側が大きく
右側が小さい４ケタの整数も８９個あるので、
合わせて１７８個です。
 
　
　
（２）左側が小さく右側が大きいものを並べ、
１０１１，１１１２，・・・，９８９９

左が大きく右側が小さいものを９９９８から
並べると、
９９９８，９８９７，・４・・，１１１０

上の段と下の段を足すと、
１１００９、１１００９，・・・，１１００９
となるので、条件にあるすべての数の和は、
１１００９×８８になり、平均なので１７８で
割るので、
　１１００９×８８÷１７８＝１１００９÷２
＝５５０４．５
となります。
　
　
　
（３）４７の倍数って何だ？？となります。

（２）の左側が小さく右側が大きいものを
考えます。
１０１１，１１１２，１２１３，・・・と
１０１ずつ増えていきます。

１０１１÷４７をすると、２１あまり２４
になります。
１１１２÷４７をすると、２３あまり３１
になります。
１２１３÷４７をすると、２５あまり３８
となります。

あまりが７ずつ増えます。

このあまりが４７の倍数になったとき、
その数は４７の倍数ということになります。
　
４７の倍数は、
４７，９４，１４１，１８８，２３５，・・・
です。
１０１１÷４７をしたときの余りの２４と
比べてみます。

４７－２４＝２３（７の倍数ではない）
９４－２４＝７０（７×１０！）
なので、
　〇▽◇△÷４７＝◆▼あまり９４
になるときがやってきます。
１０１１の１０個先！つまり２０２１です！
　
その次にあまりが４７の倍数になるのは、
４７と７は【互いに素】なので、２０２１の
４７個先です。

わかりやすくすると、
４７と７の最小公倍数が４７×７＝３２９
を２０２１のときの余りの９４に加えて、
３２９＋９４＝４２３より、
　〇▽◇△÷４７＝◆▼あまり４２３
になるときがやってきます。
２０２１の４７個先！つまり６７６８です！
　
その次は、さらに４７個先ですが、４ケタを
超えてしまいますので、左が小さく右が大きい
数では、２０２１，６７６８の２個です。
　
　
 
同じことを、左が大きく右が小さいものを
並べたものに対して考えます。
　
１１１０÷４７＝２３あまり２９
１２１１÷４７＝２５あまり３６
１３１２÷４７＝２７あまり４３
となり、今度も７ずつあまりが増えます。
　
最初のあまりの２９と４７の倍数を比べて
７の倍数になるものを探します。
　
４７ー２９＝１８
９４－２９＝６５
１４１ー２９＝１１２（７×１６）
となったので、１１１０の１６個先の２７２６が
４７の倍数であるとわかります。
　
そして、２７２６の４７個先の７４７３も４７の
倍数です。その先は５ケタになるので、４７の
倍数は以上になります。
　
２０２１，６７６８，２７２６，７４７３
の４個が４７の倍数です。

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