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2021年1月16日 (土)

対角線によって切断される正方形の数 第3問 (横浜雙葉中学 受験問題 2020年(令和2年度) 算数)

問題 (横浜雙葉中学 受験問題 2020年 算数)
    難易度★★★☆
 
いくつかの正方形のマスをすきまなく並べて作った
長方形の左下の頂点をA、右下の頂点をB、右上の
頂点をC、左上の頂点をDとします。この長方形に
対角線ACを引いたとき、対角線ACが通らないマス
がいくつあるかを考えます。例えば、下の図のように
2×4のマス(縦に2個、横に4個)で作られた
長方形に対角線ACを引くと、対角線ACが通らない
マスは色のついた4個になります。
0067_20210112150101
このとき、次の問に答えなさい。下の図は必要が
あれば使ってもかまいません。
0068_20210112150501
 
(1)3×4のマスで作られた長方形に対角線ACを
引くと対角線ACが通らないマスはいくつありますか

(2)4×5のマスで作られた長方形に対角線ACを
引くと対角線ACが通らないマスはいくつありますか
 
(3)20×25のマスで作られた長方形に対角線ACを
引くと対角線ACが通らないマスはいくつありますか
 
(4)20×25のマスで作られた長方形に対角線ACと
対角線BDを引くと、対角線が一本も通らないマスは
いくつありますか

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解答
(1)長方形ABCDの対角線ACとBDの
交点をEとすると、下の図1のように点Eの
位置が決まります。
0069_20210112151401
対角線ACは図1の点Eを通るので、下の図2
のように、対角線を引くことができ、
0070_20210112151601
対角線ACが通らないマスは、6個です。
 
 
(2)(1)と同様に、点Eの位置は下の図3
のようになります。
0071_20210112152301
対角線ACは点Eを通り、下の図4のように
引くことができ、
0072_20210112152501
対角線ACが通らないマスは、12個です。
 
 
(3)20×25マスは、(2)の4×5マスが
5倍の大きさになったものです。
 
図4で、対角線ACが通るマスは8マスあるので、
20×25マスになったとき、対角線ACが通るマス
は、8×5=40個あることがわかります。
 
対角線ACが通らないマスは、
 20×25-40=460個
です。
 
 
(4)対角線ACと対角線BDが交わるところは
下の図5のようになります。
0073_20210112160901
図5で、対角線ACとBDの通るマスは
4×5ー6=14個あります。

図5以外のところは、図4と同様になっている
ので、20×25マスのうち、図4のようになって
いるところが8か所あります。
長方形ABCDで、対角線の通るマスは、
 8×8+14=78個
あるので、対角線が一本も通らないマスは、
 20×25ー78=422個
です。
 
 
 
 

 

 横浜雙葉中学の過去問題集は → こちら

 横浜雙葉中学の他の問題は → こちら

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