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2020年12月26日 (土)

図形の回転 第28問 (高槻中学 入試問題 2020年(令和2年度) 算数)

問題 (高槻中学 入試問題 2020年 算数)
    難易度★★★★
  

下の図で、曲線ABは点Oを中心とする円周の
一部です。このとき、次の問に答えなさい。
  
 
 0062_20201230203101

(1)色のついた部分の面積を求めなさい。
 
(2)色のついた部分の図形を直線ADを軸として
一回転してできる立体の体積を求めなさい。ただし、
円すいの体積は、底面積×高さ÷3で求めることが
でき、円周率は3.14とします。
 
(3)下の図のように、点E,点Fを加えます。
点E,点Fはそれぞれ点Oについて点A,点Cと
点対称になっています。このとき、色のついた部分
の面積を求めなさい。
0063_20201230204301  

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解答
 
(1)下の図1のように、BからADに垂線を
下ろし、交点をGとすると、
0064_20201230205901

三角形OACと三角形OBGが合同になり、
OG=4cm、BG=3cm となります。

よって、色のついた部分の面積は、
  3×4÷2+2×3÷2=9(c㎡)
と求められます。
 
 
(2)下の図2のように、CからADに
垂線CHを下ろします。
0065_20201230210301

三角形OCHと三角形OACが相似で、相似比が
5:4なので、CHの長さは、
  3×4÷5=2.4cm
とわかります。
 
三角形OACをADを軸として回転させてできる
立体の体積は、
 2.4×2.4×3.14×5÷3
=9.6×3.14(㎤)
です。

次に、三角形OBDをADを軸として回転させて
できる立体の体積は、
 3×3×3.14×(4ー2)÷3
=6×3.14(㎤)
です。

この2つの立体の和は、
 (9.6+6)×3.14=48.984(㎤)
と求められます。
 
 
(3)下の図3のように、DからOBに垂線DL
を下ろし、BDとEFの交点をMとすると、
四角形ODMFは、三角形ODLと台形FMDL
の合計になります。
0066_20201230211801
三角形OACと三角形ODLが相似で、相似比が
5:2 なので、
  OL=4÷5×2=1.6cm
  LD=3÷5×2=1.2cm
で、OF=OC=4cmm なので、
  FB=1cm、LF=4-1.6=2.4cm、
  BL=1+2.4=3.4cm
です。
 
三角形BLDと三角形BFMが相似で、相似比は
BL:BF=3.4:1なので、
  FM=LD÷3.4=6/17(cm)です。
 
三角形ODLの面積は、
  1.6×1.2÷2=0.96(c㎡)
台形FMDLの面積は、
  (6/17+1.2)×2.4÷2
 =(6/17 × 1.2)+1.44(c㎡)
 
よって、四角形ODMFの面積は、
  36/85 + 1.44 + 0.96
 =36/85 + 2.4
 =36/85 + 12/5
 =36/85 + 204/85
 =240/85
 =48/17
 =2と14/17(c㎡)
と求められます。

 
 

 

 高槻中学の過去問題集は → こちら

 高槻中学の他の問題は → こちら

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