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2020年8月 1日 (土)

点の移動 第54問 (穎明館中学 受験問題 2020年(令和2年度) 算数)

問題 (穎明館中学 受験問題 2020年 算数)
    難易度★★★☆

0118_20200525024401

上の図のように、1辺が30cm と24cm の
2つの正方形を組み合わせた図形があります。
点Pは毎秒5cmの速さで辺ABをAからBまで、
点Qは毎秒4cmの速さで辺CDをCからDまで
移動します。2点P,Qが同時に出発するとき、
次の問に答えなさい。

(1)色のついた部分の面積は何c㎡ ですか。
(2)線分PQが辺ABと垂直になるのは何秒後
   ですか。
(3)線分PQが、この図形全体の面積を2等分
   するのは何秒後ですか。

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解答

(1)下の図1のように、青い長方形を加えると、
 
0119
赤い部分の面積 = 三角形ACE ー 青い長方形
で、
 CE=30+6=36cm
 AE=30+24=54cm
 DE=CE-CD=36-24=12cm
なので、
赤い部分の面積=54×36÷2 - 12×24
       =972-288=684c㎡
と求められます。

 
(2)PQとABが垂直になるのは、P,Qが合計で
36cm 動いたときで、それぞれ毎秒5cm と4cm
で動くので、
 36÷(5+4)=4秒後
に垂直になります。

 
(3)2つの正方形の面積の合計は、
30×30+24×24=1476c㎡
で、その半分は、738c㎡ です。

下の図2のように、
 
0120
4秒後、PQは点Fを通ります。(GF=20cm)
このとき、赤い部分の面積は、
 54×20-288=792c㎡
なので、4秒間で、
 792-684=108c㎡
増えています。

1秒あたりでは、108÷4=27c㎡ 増えます。

全体の半分の面積が、738c㎡ なので、
738-684=54c㎡ 増えるのにかかる時間は
 54÷27=2秒
なので、2秒後にPQは全体の面積を半分にする
ことがわかります。
 
 

 頴明館中学の過去問題集は → こちら

 頴明館中学の他の問題は → こちら

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