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2020年7月 4日 (土)

速さ 第90問 (洛星中学 入試問題 2020年(令和2年度) 算数)

問題 (洛星中学 入試問題 2020年 算数)
    難易度★★★★

  
 
ウサギとカメが山のふもとから頂上まで競走をします。
2匹は同時に一定の速さで走り始めましたが、走り
始めて2分後にウサギが昼寝を始めてしまい、その
48分後にカメが昼寝をしているウサギを追い越し
ました。

(1)ウサギとカメの走る速さの比を最も簡単な整数
の比で答えなさい。

 
しばらくしてウサギが起きました。そのあと、もし
ウサギが元の2倍の速さで走れば、3分後にA地点で
カメに追いつき、カメより1分24秒早く頂上に着く
ことができます。

(2)ウサギが昼寝をしていたのは何分間ですか。

(3)ふもとからA地点までと、A地点から頂上までの
道のりの比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

 
ところが実際には、ウサギは元の1.2倍の速さで
走ったので、カメが頂上に着いたとき、ウサギは頂上
から260m手前のところにいました。

(4)山のふもとから頂上までの道のりは何mですか。

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解答

(1)ウサギが2分で進んだ道のりと、カメが
50分で進んだ道のりが等しいので、

ウサギの速さ:カメ速さ=50:2=25:1です。
 
 
(2)ウサギは昼寝から起きた後に2倍の速さで
進むので、ウサギの速さ:カメの速さ=50:1 に
なります。

ウサギとカメの移動の様子を下の図1のように表します。
0112
ウサギが起きてからカメに追いつくまでの3分間に
 ウサギが進んだ道のりが<50>
 カメが進んだ道のりが<1> 
となるので、カメはウサギが昼寝している間に<49>
進んだことになります。

カメは<1>進むのに3分かかるので、<49>進む
には、3×49=147分かかります。

よって、ウサギが昼寝をしていた時間は、
A地点に着いてから、48+147=195分です。
(48分を足すのを忘れないようにしましょう)
 
 
(3)図1で、A地点から頂上に着くまでにウサギが
進んだ道のりが【50】で、カメはその間に【1】
しか進みません。残りの【49】をカメは1分24秒
=84秒で進むことになるので、カメが【1】進むのに
かかった時間は、84÷49=12/7秒になります。

カメは昼寝することなく進んでいて、
 ふもとからA地点までに50+147+3=200分
 A地点から頂上までに
12/7秒+1分24秒=1分25と5/7秒
かかるので、道のりの比は時間の比と同じで、
 200×60 : 1×60+180/7
=200×60 : 600/7
140 : 1
となります。
 
 
(4)ウサギの速さが1.2倍になると、ウサギの速さ:
カメの速さ=30:1になります。

ウサギとカメの移動の様子を下の図2のように表します。

0114
ウサギが昼寝から起きてからカメが頂上に着くまでに
3分+1分24秒+12/7秒=4分25と5/7秒
かかります。この間にカメが進んだ道のりが<1>で、
ウサギは<30>進みます。

<30>進むのに、カメでは、4分25と5/7秒の30倍
かかるのですが、
 ここで、4分25と5/7秒 =4分180/7秒を
 分に直すと、4と3/7分=31/7分 になります。
これで、計算しやすくなります。秒に直すと大変です。
 
31/7 ×30=930/7分=132と6/7分です。

ウサギの昼寝地点から頂上まで、カメは151と3/7分
かかっているので、260m 進むのに、
 151と3/7 - 132と6/7 = 18と4/7分
かかります。

カメはふもとから頂上まで、
 50+151と3/7=201と3/7分
かかっているので、ふもとから頂上までの道のりを□mと
して、比で求めると、
 □ : 201と3/7 = 260 : 18と4/7  
なので、
 □ = 260×1410/7÷130/7=2820m
と求められます。
 
 
 

  洛星中学の過去問題集は → こちら

 洛星中学の他の問題は → こちら 

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