平面図形の面積 第１０４問 （雙葉中学 受験問題 2020年（令和２年度） 算数）

問題　（雙葉中学　受験問題　2020年　算数） 
　　　　難易度★★★

上の図のように正十角形の頂点を結び、正五角形を
作りました。

（１）アの角度は何度ですか。
（２）この正十角形の面積は４７０ｃ㎡ 、正五角形は３８０ｃ㎡
です。赤い部分の面積は何ｃ㎡ ですか。

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解答

（１）正五角形の１つの角は１０８度です。
正十角形の１つの角度は、下の図１のように
１０８度＋ア＋アとなります。

青い二等辺三角形が１０個集まって正十角形を
作っています。中心に近い角が、
　３６０÷１０＝３６度
正十角形の１つの角度は、
　（１８０－３６）÷２×２＝１４４度
です。

よって、アの角度は、
　（１４４－１０８）÷２＝１８度
と求められます。
　

（２）正十角形の面積が４７０ｃ㎡ なので、
図１の青い三角形の面積は、４７０÷１０＝４７ｃ㎡
となります。
　
求める赤い部分を下の図２のように赤と青の
部分に分けます。

赤い部分と同じ三角形が５つあり、その面積は
正十角形と正五角形の面積の差を５で割ればよく、
　（４７０－３８０）÷５＝１８ｃ㎡
となります。
　
次に、残った青い部分ですが、下の図３のように
補助線（平行線）を引くと、図１の青い三角形と
同じ三角形に等積変形できます。

よって、青い三角形の面積は ４７ｃ㎡ なので、
求める部分の面積は、
　１８＋４７＝６５ｃ㎡
となります。

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