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2020年5月16日 (土)

論理 第62問 投票の問題 (清風南海中学 受験問題 2018年(平成30年度) 算数)

問題 (清風南海中学 受験問題 2018年(平成30年度) 算数) 
    難易度★★★★
 

Aさん、Bさん、Cさんがカルタ取りをしています。
最初に札は46枚あり、現在、Aさんが11枚、
Bさんが9枚、Cさんが5枚取っています。最終的に
一番多く札を取った人を1位とします。

 

(1)Bさんがこれ以降1枚も札を取れなかったとき、
Aさんは、少なくともあと何枚札を取れば必ず1位に
なれますか。

(2)Aさんは、少なくともあと何枚札を取れば必ず
1位になれますか。
 
 
【追加問題】
(3)Cさんは、少なくともあと何枚札を取れば必ず
1位になれますか。 
 
(4)Bさんは、少なくともあと何枚札を取れば必ず
1位になれますか。
 
New Game
(5)Cさんがもう1試合しようと持ちかけ、新しく
カルタ取りをすることになりました。Cさんが1位に
なるには、少なくとも何枚札を取ればよいですか。
また、最低何枚札を取れば必ず1位になれますか。

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解答

(1)Bさんの9枚の存在を忘れましょう。すると、
   46-9=37枚
をAさんとCさんで取り合うことになります。
 

37÷2人=18.5 なので、
Aさんが19枚取れば、Cさんは18枚にしかならず、
Aさんが勝ちます。

 
いま、Aさんは11枚取っているので、あと
19-11=8枚 取れば必ず1位になります。

 
 
(2)残りの札の枚数は、46-25=21枚です。
Aさんはいま1番多くの札を持っているので、競う
相手は2番目に多く持っているBさんです。
 
(残り21枚を全部Bさんが取ると9+21=30枚、
 Cさんが取っても5+21=26枚なので)

Cさんの5枚以外の46-5=41枚をAさんとBさん
で取り合う(Cさんはこの先0枚)と考えればよいです。

この先は(1)と同様に、41÷2=20.5 なので、
Aさんが21枚になれば、Bさんは20枚にしかならず、
Aさんが勝ちます。

いま、Aさんが11枚なので、あと21-11=10枚
取れば必ず1位になります。
 
たしかめ算:Aさんが10枚取ると、残りは
21-10=11枚。Bさん(9枚)が11枚取っても
9+11=20枚なので、Aさんが1位。Cさんも
5+11=16枚なので、Aさんが1位。 
 
 

(3)Cさんはいま1番ではないので、1番になるには
一番多く札を取っているAさんと比べることになります。
 
AさんとCさんで、いまBさんが取っている9枚以外の
46-9=37枚を取り合うことを考えて、
     37÷2=18.5
なので、Cさんが19枚取れば1位になります。

いま、Cさんは5枚なので、あと19-5=14枚取れば
必ず1位になります。
 
 
 
(4)(3)と同様に、Bさんが1位になるには一番多く
札を取っているAさんと比べます。AさんとBさんで、
Cさんの5枚以外の、46-5=41枚を取り合って、
 41÷2=20.5 より、Bさんが21枚になれば
Bさんが必ず1位になります。

いま、Bさんは9枚なので、あと21-9=12枚取れば
必ず1位になります。
 
 
 
(5)Cさんが1位になるには、46÷3=15あまり1
なので、少なくとも15+1=16枚が必要です。
(15枚では、だれかが16枚になるので、1位になれない)
 
次に、必ず1位になるために必要な最小枚数を考えます。
16枚では1位になれる可能性はありますが、1位に
なれない可能性もあります。(残りのだれかが、17枚以上
取ることも可能なため、その人に負けてしまう)
 

必ず1位になるには、半分の46÷2=23枚 取れば
よいですね。(残りの人には23を超えることはできない)
 
 
 
 清風南海中学の過去問題集は → こちら

 清風南海中学の他の問題は → こちら

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