立体図形の体積 第５２問 （投影図） （聖光学院中学 2020年（令和２年度） 算数）

問題　（聖光学院中学　2020年　算数）
　　　　難易度★★★★

下の図１のような１辺の長さが１０ｃｍ の立方体
ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨについて、次の問に答えなさい。

（１）立方体の辺上または内部に点Ｐ，Ｑ，R を
とって、７つの点Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈを
頂点とし、三角形ＰＱＲ、正方形ＥＦＧＨと
いくつかの多角形を面にもつ立体Ｘを考えます。
この立体Ｘを【あ】の方向から見ると図２、
【い】の方向から見ると図３、【う】の方向から
見ると図４のように見えます。図３、図４で
ＰとＱは重なって見えていて、辺ＤＨの真ん中の
点とも重なって見えます。また、Ｒは辺ＤＧに
重なって見えます。

（ア）立体Ｘを【え】の方向から見たときの図を
描きなさい。

（イ）立体Ｘの面の数はいくつですか。

（ウ）立体Ｘの体積は何ｃ㎥ ですか。

（２）立方体の内部に２点Ｓ，Ｔをとり、図１の
【あ】、【い】の方向からこの２点を見ると、
下の図５のように見えます。２つの図で、Ｓ，Ｔは
正方形の対角線を３等分する点とします。

 
このとき４点Ｆ，Ｇ，Ｔ，Ｓを頂点とする立体Ｙ
の体積は 何ｃ㎥ ですか。

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解答
（１）（ア）図２より、点Ｐは辺ＡＥ上、点Ｑは
辺ＤＨ上、点Ｒは正方形の対角線の交点上にある
ことがわかります。

図３、４より、点Ｐは辺ＡＥの真ん中、点Ｑは
辺ＤＨの真ん中、点ＲはＤＧの真ん中にあることが
わかります。
　
以上より、点Ｐ，Ｑ，Ｒの場所は、下の図６の
ようになり、面ＰＱＲと面ＥＦＧＨは平行です。
　

　
【え】の方向から見た図は、下の図７のように
なります。
　  
　
（１）（イ）図６より、立体Ｘの面の数は、８個です。

（１）（ウ）図６の立体Ｘの体積は、いきなり求める
ことができないので、元となる立体から削り取る
方法をとります。

何を元となる立体とするかですが、三角形ＦＧＲが、
面ＡＦＧＤ上にあることから、下の図８のように
三角柱ＡＥＦ－ＤＨＧを元となる立体とします。
　
次に下の図９のように、点Ｒを通り、ＡＤと平行な
線を引き、ＡＦ，ＤＧとの交点をそれぞれＭ，Ｎと
すると、
　
立体Ｘは、台形柱から２つの三角すいＦ－ＰＭＲ，
Ｇ－ＱＮＲを取り除いたものだとわかります。
　
２つの三角すいは合同です。
　
立体Ｘの体積は、
（５＋１０）×５÷２×１０－５×５÷２×５÷３×２
＝３７５－１２５/３
＝１０００/３＝３３３と１/３（ｃ㎥ ）
と求められます。

（２）図５より、Ｓ，Ｔの位置は下の図１０のように
ＢＨを３等分するところだとわかります。
　
　
　
立体Ｙの形は、下の図１１のようになります。
　
　
　
立体Ｙは、三角すいＢ－ＦＧＨから、
三角すいＴ－ＦＧＨと三角すいＳ－ＢＦＧを除いた
ものになります。

三角すいＢ－ＦＧＨは、底面が三角形ＦＧＨ、
高さ１０ｃｍ なので、
　　１０×１０÷２×１０÷３＝５００/３（ｃ㎥）

三角すいＴ－ＦＧＨは、底面が三角形ＦＧＨ、
高さは、ＴがＢＨを３等分しているので１０/３ｃｍ で、
　　１０×１０÷２×１０/３ ÷３＝５００/９（ｃ㎥）

三角すいＳ－ＢＦＧは、底面が三角形ＢＦＧ、
高さ１０/３ｃｍなので、同じく５００/９（ｃ㎥）

以上より、立体Ｙの体積は、
　５００/３－５００/９×２個
＝５００/９＝５５と５/９（ｃ㎥）
と求められます。
 
　
　

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