立体図形の表面積 第１５問 （桜蔭中学 入試問題 2020年（令和2年度） 算数）

問題　（桜蔭中学　入試問題　2020年　算数）　

　　　　難易度★★★★

　

図の直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨにおいて、辺DC,HGの

真ん中の点をそれぞれM,N とします。また、MN上に

点Ｌがあり、ＡＤ＝４ｃｍ、ＤＭ＝３ｃｍ、ＭＬ＝３ｃｍ、

ＡＭ＝５ｃｍ です。

三角形ＡＤＭを拡大すると三角形ＧＣＢにぴったり

重なります。三角形ＧＣＢの一番短い辺はＢＣです。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）次の【ア】、【イ】に当てはまる数を答えなさい。

辺GC の長さは【　ア　】ｃｍ、ＢＧの長さは【　イ　】

ｃｍ です。

（２）三角形ＡＮＢ、三角形ＡＬＢ、三角形ＡＬＮ、

三角形ＢＬＮで囲まれた立体ＡＬＢＮの体積を求めなさい。

（３）①三角形ＡＮＢの面積を求めなさい。

　　　②立体ＡＬＢＮの表面積を求めなさい。

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解答

（１）三角形ＡＤＭ が三角形ＧＣＢ と合同なので、

　ＡＤ：ＤＭ＝ＧＣ：ＣＢ 

　ＡＭ：ＤＭ＝ＧＢ：ＣＢ

ということで、

　４：３＝ＧＣ：４

　５：３＝ＧＢ：４

より、

　ＧＣ＝４×４÷３＝１６/３＝５と１/３ｃｍ【ア】

　ＧＢ＝４×５÷３＝２０/３＝６と２/３ｃｍ【イ】

と求められます。

（２）立体ＡＬＢＮは、ＡＢの真ん中に点Ｐを取ると

下の図１のように、

　

三角形ＬＮＰを底面として、高さＡＰの三角すいＡ－ＬＮＰ

三角形ＬＮＰを底面として、高さＢＰの三角すいＢ－ＬＮＰ

の２つが合わさった立体です。（ＡＢは面ＰＭＮと垂直）

三角形ＬＮＰの面積は、

　ＬＮ＝ＭＮ（＝ＧＣ）－ＬＭ（３ｃｍ）＝２と１/３ｃｍ

　高さＰＭ＝ＡＤ＝４ｃｍ

より、

　７/３　×　４　÷　２　＝　１４/３ｃ㎡

で、三角すいの体積＝底面積×高さ÷３ で求められるので、

立体ＡＬＢＮの体積は、

　　１４/３　×　３　÷　３　×　２個　

＝　２８/３　

＝　９と１/３ｃ㎥

となります。

（３）①三角形ＡＮＢの面積は、ＡＢとＰＮが垂直に交わって

いて、ＰＮ＝ＢＧ＝２０/３ｃｍ なので、

　６×２０/３÷２＝２０ｃ㎡

と求められます。

（３）②三角形ＡＬＢの面積は、ＡＢとＰＬが垂直に交わって

いるので、ＰＬの長さがわかれば求められます。

ここで、三角形ＰＬＭは、ＰＭ＝４ｃｍ、ＭＬ＝３ｃｍで

ＰＭとＭＬは垂直に交わっていることから直角三角形とわかり、

斜辺のＰＬの長さは ５ｃｍ です。

よって、三角形ＡＬＢの面積は、６×５÷２＝１５ｃ㎡ です。

次に、三角形ＡＬＮと三角形ＢＬＮは３辺の長さが等しく合同な

三角形なので、片方の面積を求めて２倍にすればよいです。

長方形ＡＭＮＥ で考えれば、三角形ＡＬＮは、

底辺がＬＮ、高さがＡＭ の三角形で、その面積は

　７/３ × ５ ÷ ２ ＝ ３５/６ｃ㎡

と求められます。

以上より、立体ＡＬＢＮの表面積は、

　２０＋１５＋（３５/６ × ２）＝４６と２/３ｃ㎡

となります。

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