立体図形の切り口 第６５問 （駒場東邦中学 入試問題 2017年（平成29年度） 算数）

問題　（駒場東邦中学　入試問題　2017年　算数）

　　　　 難易度★★★★★

１辺の長さが４ｃｍの立方体について、次のような【作業】を

行います。

【作業】

①　立方体の各辺を４等分します。

②　１つの頂点に注目したとき、その頂点を端の点とする３つの

　　辺上にある分点（分ける点）のうち、頂点から最も離れている

　　３つの分点を通る平面で切り取ります。

例えば、下の図１は、頂点Ａに対し、３点Ｐ，Ｑ，Ｒ を通る平面で

切り取った図です。

この【作業】を立方体の８個あるすべての頂点に対し、同時に

行った後に残る立体【あ】について考えます。

（１）立方体の面ＡＢＣＤ上にできる立体【あ】の面を下の図２に

　　 示し、その面積を求めなさい。

（２）三角形ＰＱＲ上にできる立体【あ】の面を面【い】とします。

　　 ①　面【い】の形の名前を答えなさい。

　　 ②　（三角形ＰＱＲの面積）　：　（面【い】の面積）を最も
　　　　　簡単な整数の比で求めなさい。

（３）立体【あ】の体積を求めなさい。

　　 ただし、角すいの体積は、（底面積）×（高さ）÷３ で

　　 求めることができます。

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解答

（１）立方体の面ＡＢＣＤ上にできる立体【あ】の面は、下の図３の

　　 色のついた部分になります。

色のついた部分の各辺は、１辺１ｃｍの正方形の対角線に
なっているので、面積は、
　
　　　１×１÷２×４個＝２ｃ㎡

です。

（２）①立方体の切断の線を何本か描くと、下の図４のようになり、

　　
赤い点が三角形ＰＱＲ上にできる立体【あ】の面【い】の
各頂点で、（１）より、赤い点はＰＱ，ＱＲ，ＰＲを３等分する点で、
下の図５のように描くことができ、

Ｓ，Ｔ，Ｕ はそれぞれの辺を３等分する点で、三角形ＰＱＲが
正三角形なので、角Ｐ＝６０°より、三角形ＰＳＵ も正三角形で、
ＳＴ＝ＳＵ とわかるので、同様に赤い六角形はすべての辺の
長さが等しく、面【い】の形は、正六角形になります。

（２）②下の図６のように補助線を引くと、

三角形ＰＱＲ　：　面【い】　＝　９　：　６　＝　３　：　２　
となります。

（３）立体【あ】は、まず立方体から三角すいＡ－ＰＱＲと同じものを
立方体の頂点と同じ数である ８個除きます。

すると、下の図７の青い立体の部分が 【立方体の辺の数】と
同じ１２個重複して除かれるので、戻す必要があります。

図７の青い立体は、底面が三角形ＦＳＰ、高さがＥＵ の三角すい
なので、立体【あ】の体積は、

　（４×４×４　－　３×３÷２×３÷３×８個）　
　　　　　　　　　＋　２×１÷２×１÷３×１２個

＝６４－３６＋４
　
＝３２ｃ㎥

と求められます。

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