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2017年4月14日 (金)

立体図形の切り口 第65問 (駒場東邦中学 入試問題 2017年(平成29年度) 算数)

問題 (駒場東邦中学 入試問題 2017年 算数)
     難易度★★★★★
 
1辺の長さが4cmの立方体について、次のような【作業】を
行います。
 
【作業】
① 立方体の各辺を4等分します。
② 1つの頂点に注目したとき、その頂点を端の点とする3つの
  辺上にある分点(分ける点)のうち、頂点から最も離れている
  3つの分点を通る平面で切り取ります。
 
例えば、下の図1は、頂点Aに対し、3点P,Q,R を通る平面で
切り取った図です。

0051

 
この【作業】を立方体の8個あるすべての頂点に対し、同時に
行った後に残る立体【あ】について考えます。
 
(1)立方体の面ABCD上にできる立体【あ】の面を下の図2に
   示し、その面積を求めなさい。
0052
 
 
(2)三角形PQR上にできる立体【あ】の面を面【い】とします。
   ① 面【い】の形の名前を答えなさい。
   ② (三角形PQRの面積) : (面【い】の面積)を最も
     簡単な整数の比で求めなさい。
 
(3)立体【あ】の体積を求めなさい。
   ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3 で
   求めることができます。
---------------------------------------------
---------------------------------------------
解答
 
(1)立方体の面ABCD上にできる立体【あ】の面は、下の図3の
   色のついた部分になります。

0053

色のついた部分の各辺は、1辺1cmの正方形の対角線に
なっているので、面積は、
 
   1×1÷2×4個=2c㎡

です。

 

(2)①立方体の切断の線を何本か描くと、下の図4のようになり、

0054  
赤い点が三角形PQR上にできる立体【あ】の面【い】の
各頂点で、(1)より、赤い点はPQ,QR,PRを3等分する点で、
下の図5のように描くことができ、

0055_2

S,T,U はそれぞれの辺を3等分する点で、三角形PQRが
正三角形なので、角P=60°より、三角形PSU も正三角形で、
ST=SU とわかるので、同様に赤い六角形はすべての辺の
長さが等しく、面【い】の形は、正六角形になります。

(2)②下の図6のように補助線を引くと、

0056

三角形PQR : 面【い】 = 9 : 6 = 3 : 2 
となります。

 

(3)立体【あ】は、まず立方体から三角すいA-PQRと同じものを
立方体の頂点と同じ数である 8個除きます。

すると、下の図7の青い立体の部分が 【立方体の辺の数】と
同じ12個重複して除かれるので、戻す必要があります。

0057
図7の青い立体は、底面が三角形FSP、高さがEU の三角すい
なので、立体【あ】の体積は、

 (4×4×4 - 3×3÷2×3÷3×8個) 
         + 2×1÷2×1÷3×12個

=64-36+4
 
32c㎥

と求められます。

 

駒場東邦中学の他の問題は → こちら

 

駒場東邦中学の過去問題集は → こちら

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