立体図形の切り口 第65問 (駒場東邦中学 入試問題 2017年(平成29年度) 算数)
簡単な整数の比で求めなさい。
色のついた部分の各辺は、1辺1cmの正方形の対角線に
なっているので、面積は、
1×1÷2×4個=2c㎡
です。
(2)①立方体の切断の線を何本か描くと、下の図4のようになり、
赤い点が三角形PQR上にできる立体【あ】の面【い】の
各頂点で、(1)より、赤い点はPQ,QR,PRを3等分する点で、
下の図5のように描くことができ、
S,T,U はそれぞれの辺を3等分する点で、三角形PQRが
正三角形なので、角P=60°より、三角形PSU も正三角形で、
ST=SU とわかるので、同様に赤い六角形はすべての辺の
長さが等しく、面【い】の形は、正六角形になります。
(2)②下の図6のように補助線を引くと、
三角形PQR : 面【い】 = 9 : 6 = 3 : 2となります。
(3)立体【あ】は、まず立方体から三角すいA-PQRと同じものを
立方体の頂点と同じ数である 8個除きます。
すると、下の図7の青い立体の部分が 【立方体の辺の数】と
同じ12個重複して除かれるので、戻す必要があります。
図7の青い立体は、底面が三角形FSP、高さがEU の三角すい
なので、立体【あ】の体積は、
(4×4×4 - 3×3÷2×3÷3×8個)
+ 2×1÷2×1÷3×12個
=64-36+4
=32c㎥
と求められます。
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