平面図形の長さ 第６４問 （開成中学 入試問題 2017年（平成29年度） 算数）

問題　（開成中学　入試問題　2017年　算数）　難易度★★★★

（１）上の図１において、四角形ABCD、四角形ABEF はともに
　　 長方形で、３つの直線AG、BD、EFが１点Ｈで交わって
     います。EGの長さが１ｃｍ、DFの長さが９ｃｍ、AFの長さが
　　Ｘｃｍのとき、Ｘの値を求めなさい。

（２）A地点とB地点の間に一本道があります。阿部君はこの道を
　　 A地点からB地点へ向かって分速５０ｍで進みます。馬場君も
　　 この道をB地点からA地点へ向かって一定の速さで進みます。
　　 2人は同時に出発し、B地点から２５０ｍ離れた地点ですれ
　　 違いました。また、阿部君がB地点に着いてから４６分１２秒後
　　 に馬場君はA地点に着きました。上の図は2人が出発してから
　　 の時間とA地点からの道のりの関係を表しています。2人が
　　 出発してからすれ違うまでにかかった時間をＹ分とするとき、
　　 Yの値を求めなさい。

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解答

　（１）下の図３で、三角形BEH と三角形DFH は相似で、
三角形AFH と三角形GEH は相似です。

よって、EF ： HF ＝ Ｘｃｍ ： ９ｃｍ ＝ １ｃｍ ： Xｃｍ ということが
わかります。

このことから、９×１＝【Ｘ】×【Ｘ】　より、Ｘ＝３ｃｍ です。

（２）2人がすれ違ってから阿部君がB地点に着くまでにかかった
時間は、２５０÷５０＝５分です。

また、４６分１２秒＝４６．２分なので、下の図４のように表すことが
できます。

ここで、図４を図３のように直すと、下の図５のようになります。

（１）と同様に考えると、
　　 EH　：　HF　＝　５　：　Y　＝　Y　：　５１．２
となり、

　【Y】×【Y】＝５×５１．２＝２５６

より、Y＝１６分 と求められます。

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