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2017年2月17日 (金)

立体図形の表面積 第14問 (桜蔭中学 入試問題 2017年(平成29年度) 算数)

問題 (桜蔭中学 入試問題 2017年 算数)
     難易度★★★★
 

0046

上の図のような立体1,2,3が、どれも1個以上あります。
立体1は円すい、立体2は円柱、立体3は底面の半径が4cmの
円柱から底面の半径が2cmの円柱をくりぬいてできた立体です。
 
立体1の底面(下の面)は赤、立体2の底面(上下の2つの面)
は青、立体3の底面(上下の2つの面)は黄色にぬられていて、
どの立体もその他の面はすべて白くぬられています。このとき
次の問いに答えなさい。
 
(1)立体1,2,3の1個ずつについて、白くぬられている部分の
   面積と、赤、青、黄色にぬられている部分の面積をそれぞれ
   求めなさい。
 
(2)すべての立体の赤くぬられている部分の面積の合計と、
   青くぬられている部分の面積の合計と、黄色くぬられている
   部分の面積の合計がどれも同じとき、すべての立体の白く
   ぬられている部分の面積の合計は最も少なくて何c㎡ ですか。
 
(3)すべての立体の白くぬられている部分の面積の合計が
   5652c㎡ であるとき、立体1,2,3はそれぞれ何個ずつ
   ありますか。考えられる個数の組をすべて答えなさい。
   ただs、立体1,2,3は、どれも異なる個数あるとします。
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解答
 
(1)立体1の白い部分の面積は、
    25×25×3.14×6/25=150×3.14=471c㎡
立体1の赤い部分の面積は、
    6×6×3.14=36×3.14=113.04c㎡
 
立体2の白い部分の面積は、
    3×2×3.14×20=120×3.14=376.8c㎡
立体2の青い部分の面積は、
    3×3×3.14×2=18×3.14=56.52c㎡
 
立体3の白い部分の面積は、
    2×2×3.14×15+4×2×3.14×15
   =60×3.14+120×3.14
   =180×3.14=565.2c㎡
立体3の黄色い部分の面積は、
    (4×4×3.14-2×2×3.14)×2
   =24×3.14=75.36c㎡
 
 
(2)立体1,2,3の赤、青、黄色の部分の面積は、
 立体1の赤い部分の面積=36×3.14
 立体2の青い部分の面積=18×3.14
 立体3の黄色い部分の面積=24×3.14
なので、36,18,24の最小公倍数を考えればよく、72です。
つまり、
 立体1の赤い部分の面積=36×3.14×2個
 立体2の青い部分の面積=18×3.14×4個
 立体3の黄色い部分の面積=24×3.14×3個
となり、 立体1が2個、立体2が4個、立体3が3個のときが
白くぬられている部分の面積の合計が最も小さいときで、
 150×3.14×2+120×3.14×4+180×3.14×3
=(300+480+540)×3.14
=1320×3.14
4144.8c㎡
となります。
 
 
 
 (3)立体1の個数を●、立体2の個数を▲、立体3の個数を■
とすると、
  150×3.14×●+120×3.14×▲+180×3.14×■
=(150×●+120×▲+180×■)×3.14=5652
となるので、
   5652÷3.14=1800
より、
  150×●+120×▲+180×■
 =15×10×●+12×10×▲+18×10×■
 =(15×●+12×▲+18×■)×10=1800
なので、
  15×●+12×▲+18×■=180
で、
  3×5×●+3×4×▲+3×6×■=180
  3×(5×●+4×▲+6×■)=180
となるので、
  5×●+4×▲+6×■=60
という式ができます。
 
 
●、▲、■は、少なくとも1個ずつあるので、
  ●=〇+1
  ▲=△+1
  ■=□+1
と考えます(〇、△、□は、0以上)
 
  5×●+4×▲+6×■
=5×(〇+1)+4×(△+1)+6×(□+1)
=5×〇+4×△+6×□+5+4+6=60
なので、
  5×〇+4×△+6×□=45
という式ができます。
 
〇、△、□の組み合わせ(〇、△、□)を考えると、
45が奇数なので、〇には奇数が入らなければ
式が成り立ちません。
 
(〇、△、□)=(1,1,6)、(1,4,4)、(1,7,2)、(1,10,0)
          (3,0,5)、(3,3,3)、(3,6,1)、
          (5,5,0)、(5,2,2)
が考えられますが、それぞれ異なる数という条件があるので、
 
(〇、△、□)=(1,7,2)、(1,10,0)、(3,0,5)、(3,6,1)
 
となり、
 
(●、▲、■)=(2,8,3)、(2,11,1)、(4,1,6)、(4,7,2)
 
です。
 
つまり、(立体1、立体2、立体3) は、
     (2個、8個、3個)、(2個、11個、1個)、
     (4個、1個、6個)、(4個、7個、2個)
の4通りが考えられます。
 
 
 桜蔭中学の他の問題は → こちら
 

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