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2017年2月 3日 (金)

速さ 第86問 (麻布中学 入試問題 2017年(平成29年度) 算数)

問題 (麻布中学 入試問題 2017年 算数)
     難易度★★★★★
 
ふだん、太一君は自宅から学校まで歩いて通っています。
今週、太一君は自宅からある地点までは走り、残りは
歩いて学校に行くことにしました。
 
月曜日は、自宅から 99m だけ走ったところ、ふだんより
1分早く学校に着きました。
 
火曜日は、自宅から3分間だけ走ったところ、ふだんより
8分早く学校に着きました。
 
太一君は毎日同じ時刻に出発し、走る速さと歩く速さは
それぞれ一定とします。このとき、次の問いに答えなさい。
 
(1)太一君の歩く速さは分速何 m ですか。
 
(2)水曜日は、走った時間と歩いた時間が同じでした。
木曜日は、自宅と学校のちょうど中間の地点まで走った
ところ、水曜日よりも 4分 おそく学校に着きました。
太一君の自宅から学校までの距離は 何 m ですか。
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解答
 
 (1)月曜日と火曜日の様子をグラフに表すと、下の図1の
ようになります。
 

0039_4

ふだん学校に着くのは、C
月曜日は、B、火曜日は、A です。

図1のグラフに、下の図2のような補助線を書きます。

0040_2

ADとBFは平行なので、DF 間は7分です。
BHとCOは平行なので、OH 間は1分です。

三角形DEF と 三角形OEH が相似なので、
  DE : EO = DF : OH = 7 : 1

三角形OEL と 三角形ODM が相似なので、
  OL : LM = OE : ED = 1 : 7

OM 間は3分なので、OL 間は、3分÷(1+7)=3/8(分)
とわかります。

EL 間の距離は、99m で、HL 間の時間は、1+3/8(分)
ということから、太一君の歩く速さは、
    99÷(1+3/8)=72m(分速)
と求められます。

 
 (2)図2のN地点のキョリは、99×8=792m なので、
太一君の走る速さは、792÷3=264m(分速) です。

水曜日と木曜日の様子をグラフに表すと、下の図3のように
なります。

0041
 
走る速さ : 歩く速さ = 264 : 72 = 11 : 3 なので
 
  OY : YZ = 11 : 3

OX : XZ =  1 : 1 なので、OZ=⑭ とすると、
OX=⑦、XZ=⑦、OY=⑪、YZ=③、XY=④ となります。

また、OP : PS = 【 3 】 : 【 11 】 で、下の図4の
ようになり、
 

0042

OP : PQ = OX : XY より、
PQ = 【3】÷⑦×④=【12/7】

OQ=【3】+【12/7】=【33/7】
 
OR=OQ×2=【66/7】
 
と求められるので、
 
 RS=【14】-【66/7】=【32/7】=4分
 
ということがわかります。
 
このことから、OQ=4分÷32×33=33/8(分)と求められ、
太一君の自宅から学校までの距離は、

 72×33/8 + 264×33/8 = 1386m

と求められます。

麻布中学の過去問題集は → こちら
麻布中学の他の問題は → 

こちら

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