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2016年12月 3日 (土)

場合の数 第89問 (浅野中学 受験問題 2016年(平成28年度) 算数)

 
問題 (浅野中学 受験問題 2016年 算数) 
     難易度★★★★★
 
3個のサイコロA,B,Cを続けて投げるとき、A,B,C の出た目
のすべての数の積を考えます。たとえば、Aの目が1、Bの目が
5、Cの目が2のとき、出た目のすべての数の積は、
 
     1×5×2=10
 
となります。このとき、次の問に答えなさい。
 
(1)A,B,C の出た目のすべての数の積が偶数になる
   ような目の出方は何通りありますか。
(2)A,B,C の出た目のすべての数の積が4の倍数に
   なるような目の出方は何通りありますか。
(3)A,B,C の出た目のすべての数の積が6の倍数に
   なるような目の出方は何通りありますか。
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解答
 
 (1)目の出方は、6×6×6=216通り あります。
このうち、奇数になるのは、
 
 Aが奇数(3通り)、Bも奇数(3通り)、Cも奇数(3通り)
 
のときで、3×3×3=27通り です。
 
 
残りは全て偶数となるので、偶数になる目の出方は、
 
 216-27=189通り
 
あります。
 
 
 (2)まず、偶数×偶数×偶数=4の倍数になります。
A(偶数:3通り)×B(偶数:3通り)×C(偶数:3通り)
 
また、偶数×偶数×奇数=4の倍数になります。
 
A(偶数:3通り)×B(偶数:3通り)×C(奇数:3通り)
A(偶数:3通り)×B(奇数:3通り)×C(偶数:3通り)
A(奇数:3通り)×B(偶数:3通り)×C(偶数:3通り)
 
さらに、(4の倍数)×(奇数)×(奇数)も4の倍数になり、
 
A(4の倍数:1通り)×B(奇数:3通り)×C(奇数:3通り)
A(奇数:3通り)×B(4の倍数:1通り)×C(奇数:3通り)
A(4の倍数:1通り)×B(奇数:3通り)×C(奇数:3通り)
 
の場合があり、4の倍数になる目の出方は、
 
 3×3×3+3×3×3×3+1×3×3×3
=27+81+27
135通り
 
あります。
 
 
 (3)重ねて数えないように注意しましょう。
 
6の目が1個出ているとき、6の倍数になるので、
A(6の目:1通り)×B(6以外:5通り)×C(6以外:5通り)
A(6以外:5通り)×B(6の目:1通り)×C(6以外:5通り)
A(6以外:5通り)×B(6以外:5通り)×C(6の目:1通り)
 
同様に、6の目が2度出ても、6の倍数になります。
A(6の目:1通り)×B(6の目:1通り)×C(6以外:5通り)
A(6の目:1通り)×B(6以外:5通り)×C(6の目:1通り)
A(6以外:5通り)×B(6の目:1通り)×C(6の目:1通り)
 
同様に、6の目が3個とも出ても、6の倍数になります。
A(6の目:1通り)×B(6の目:1通り)×C(6の目:1通り)
 
6の目が出ている場合では、
 
   5×5×3+5×3+1×1×1=91通り
 
の目の出方があります。
 
 
 
6の目が出ずに、出た目の積が6の倍数になるのは、
   偶数 × 3 = 6の倍数
なので、2または4  × 3 が含まれている場合です。
(1~5までしか用いないことに注意)
 
A,B,C の目が、(2,3,□)のときの目の出方は、
 (2,3,1)のとき → 6通り
 (2,3,2)のとき → 3通り
 (2,3,3)のとき → 3通り
 (2,3,4)のとき → 6通り
 (2,3,5)のとき → 6通り
 
A,B,C の目が、(4,3,□)のときの目の出方は、
 (4,3,1)のとき → 6通り 
 
 (4,3,2)のとき → 6通り → (2,3,4)で数えている
 (4,3,3)のとき → 3通り
 (4,3,4)のとき → 3通り
 (4,3,5)のとき → 6通り
 
となるので、3×4+6×5=42通り あることがわかります。
 
 
よって、A×B×C=6の倍数になるのは、
 
    91+42=133通り
 
と求められます。
 
 
 
 浅野中学の他の問題は → こちら
 

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