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2016年8月 5日 (金)

場合の数 第88問 (四天王寺中学 受験問題 2016年(平成28年度) 算数)

問題 (四天王寺中学 受験問題 2016年 算数)
      難易度★★★★
 
 
赤白青の3個のサイコロがあります。これらのサイコロを投げて
次のように得点を決めます。
 
① 3個の目の数がすべて異なるときは、一番大きい目の数を
  得点とする。
 
② 2個の目の数が同じで、残り1個の目の数がそれと異なる
  ときは、同じ目の数の2倍を得点とする。
 
③ 3個の目の数がすべて同じときは、その目の数の3倍を
  得点とする。
 
例えば【赤の目が4、白の目が5、青の目が6】ならば6点
     【赤の目が4、白の目が4、青の目が5】ならば8点です。
 
このとき、次の問に答えなさい。
 
 
(1)3個のサイコロを1回投げたとき、最低の得点は何点で、
   そのような目の出方は何通りありますか。
 
(2)得点が6点となる目の出方は何通りありますか。
 
(3)3個のサイコロをAさんとBさんがそれぞれ1回ずつ投げた
   とき、Aさんの得点がBさんの得点の5倍になるような目の
   出方は何通りありますか。
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解答
 
 (1)最低の得点は、【1,1,□】という目の出方のときで、
得点は、1×2=2点 です。
 
 
2点になる目の出方は、【1,1,2】、【1,1,3】~【1,1,6】の
5通りあります。
 
さらに、赤白青のサイコロの見分けがつくので、
たとえば、【1,1,2】という出方は、
 【赤白が1、青が2】、【赤青が1、白が2】、【白青が1、赤が2】
の3通りあるので、2点になる目の出方は、
  5×3=15通り
あります。
 
 
 (2)①3つのサイコロがすべて異なる目のとき、得点が6点
になるのは、【 ○ △ 6 】という出方のときで、○、△ には、
1~5の中から2個選ぶので、4+3+2+1=10通り の出方が
あります。
 
さらに、赤白青のサイコロの見分けがつくので、たとえば
【1,2,6】という出方は、
 【赤1 白2 青6】 【赤1 青2 白6】
 【白1 赤2 青6】 【白1 青2 赤6】
 【青1 赤2 白6】 【青1 白2 赤6】
と6通りあるので、このような目の出方は、
 10×6=60通り
あります。
 
②2個の目の数が同じで、残りの1個の数が異なる場合に
得点が6点になるのは、【3,3,□】という目のときで、
これは(1)より、15通りの目の出方があります。
 
③3個の目の数が同じ場合は、【2,2,2】のとき1通りです。
 
以上から、得点が6点になる目の出方は、
   60+15+1=76通り
あります。
 
 
 
 (3)Aさんの得点がBさんの得点の5倍になる場合を考えると
 
【1】Aさんが5点、Bさんが1点 → あり得ない
【2】Aさんが10点、Bさんが2点 → あり得る
【3】Aさんが15点、Bさんが3点 → あり得る
【4】Aさんが20点、Bさんが4点 → あり得ない
 
となります。
 
 
★Aさんが10点、Bさんが2点の場合★
 
10点になるのは、【5,5,□】という目の出方のときで、
(1)より、15通りあります。
 
2点になるのは、【1,1,□】という目の出方のときで、
(1)より、15通りあります。
 
よって、Aさんが10点、Bさんが2点になる目の出方は、
     15×15=225通り
あります。
 
 
★Aさんが15点、Bさんが3点の場合★
 
15点になるのは、【5,5,5】の場合の1通りです。
 
3点になるのは、【1,2,3】の場合と、【1,1,1】の場合で、
 【1,2,3】の目の出方は、(2)より、6通り
 【1,1,1】の目の出方は、1通り
なので、3点になる目の出方は、6+1=7通り あります。
 
よって、Aさんが15点、Bさんが3点になる目の出方は、
     1×7=7通り
あります。
 
 
以上より、Aさんの得点がBさんの得点の5倍になるような
目の出方は、
     225+7=232通り
あります。
 
 
 
 四天王寺中学の他の問題は → こちら

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