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2016年7月 8日 (金)

規則性の問題 第40問 (麻布中学 受験問題 2016年(平成28年度) 算数)

 
問題 (麻布中学 受験問題 2016年 算数) 難易度★★★★☆
 
 
 
黒い正方形がいくつか与えられたとき、それぞれの黒い正方形を
 
9等分し、下の図1のように5個の正方形を白くぬる操作を操作A
 
と呼びます。また、図2のように4個の正方形を白くぬる操作を
 
操作Bと呼びます。

  0033_2

例1 1つの黒い正方形に対し、操作Aを続けて2回行うと、下の
 
結果になります。このとき、黒い正方形が16個と、白の
 
つながっている部分が5個(正方形4個と他の白い部分1個)が
 
現れます。

  0034

例2 1つの黒い正方形に対し、操作Aを行った後に操作Bを
 
行うと、下の結果になります。このとき、黒い正方形が20個と、
 
白のつながっている部分が9個現れます。

  0035

(1)例2の結果の図形に操作Aを行いました。黒い正方形は
 
   いくつできますか。また、白のつながっている部分はいくつ
 
   ですか。必要ならば下の図を用いなさい。

   0036

(2)(1)の結果の図形に、操作Bを行いました。白のつながって
 
   いる部分はいくつできますか。
 
 
(3)(2)の結果の図形に操作Aを行い、さらにその後に操作Bを
 
   行ったとき、白のつながっている部分はいくつできますか。
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解答
 
 (1)操作Aを行うと、1個の黒い正方形が4個に増えます。
 
よって、黒い正方形の個数は、20×4=80個 です。
 
 
例1での結果を4個の【独立した部分と呼ぶことにします。
 
操作Aでは、黒い正方形1個から、1個の【独立した部分】が
 
でき、その中に1個の白い正方形が作られます。
 
 
よって、例2に操作Aを行うと、20個の【独立した部分】ができ、
 
20個の白い正方形ができます。また、【独立した部分】の周り
 
はすべてつながっているので、白のつながっている部分は、
 
20+1=21個 となります。
 
 
 
 
 (2)例2より、1個の【独立した部分】に対し操作Bを行うと、
 
内部に1個の白い部分ができ、黒い正方形が20個できます。
 
 
 
よって、(1)の結果に操作Bを行うと、
 
20個の【独立した部分】 から、 
 
       20個の白い部分と400個の黒い正方形
 
ができます。
 
 
(1)の結果では、8個の【独立した部分】が外周の正方形に
 
接しているので、8個の白い正方形ができます。
 
 
さらに、内部に大きな白いつながっている部分ができるので、
 
白のつながっている部分の個数は、
 
   20+8+1=29個
 
です。
 
 
 
 
 (3)(2)の結果に操作Aを行うと、400個の【独立した部分
 
ができあがり、400個の白い正方形と、1つの大きな白い部分
 
できます。このうち、外周に接している【独立した部分】は16個
 
ですね。
 
 
 
さらに、操作Bを行うと、400個の白い部分と、8000個の黒い
 
正方形ができあがります。そして外周の正方形との間に16個
 
の白い正方形があり、大きな白いつながっている部分が1個
 
できあがります。
 
 
よって、白いつながっている部分の数は、
 
  400+16+1=417個
 
となります。
 
 
 
 麻布中学の他の問題は → こちら

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