場合の数 第８７問 （開成中学 入試問題 2016年（平成28年度） 算数）

問題　（開成中学　入試問題　2016年　算数）　難易度★★★★

　　

上の図の正五角形は、直線L に関して線対称です。

いま、点Aが正五角形の頂点①、②、③、④、⑤を次の

操作１、操作２、操作３ のいずれかに従い移動します。

　 操作１　：　時計回りに２つ移動する

　 操作２　：　時計回りの反対の方向に１つ移動する

　 操作３　：　直線L に関して線対称な頂点に移動する

たとえば、②からスタートして、

　 操作１、操作２、操作３、操作３、操作１

の５回の操作による点Aの移動は、次の例のように表記

します。

　 例　【　②　⑤　①　①　①　④　】

なお、操作３、操作２、操作３、操作３、操作１ による移動

も同じ表記になります。このとき、次の問に答えなさい。

（１）点Aが②からスタートして２回の操作の直後にいることが

　　 できる頂点をすべて答えなさい。

（２）１回の操作の直後に点Aが④にいられるような頂点をすべて

　　 答えなさい。

（３）点Aが②からスタートして５回の操作の直後に④にいる

　　 移動の表記は全部で何通りありますか。その表記を上の

　　 例にならってすべて答えなさい。

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解答

　（１）２回でできる操作は、３×３＝９通り なので、調べてみます。

　　操作１　→　操作１　　：　【　②　⑤　③　】

　　操作１　→　操作２　　：　【　②　⑤　①　】

　　操作１　→　操作３　　：　【　②　⑤　②　】

　　操作２　→　操作１　　：　【　②　③　①　】

　　操作２　→　操作２　　：　【　②　③　④　】

　　操作２　→　操作３　　：　【　②　③　④　】

　　操作３　→　操作１　　：　【　②　⑤　③　】

　　操作３　→　操作２　　：　【　②　⑤　①　】

　　操作３　→　操作３　　：　【　②　⑤　②　】

となるので、①、②、③、④ の頂点になります。

　（２）操作１、操作２、操作３について調べます。

　　操作１の直後に④にいるのは、①

　　操作２の直後に④にいるのは、③

　　操作３の直後に④にいるのは、③

となるので、①と③です。

　（３）（１）で②からスタートして２回の操作の直後にいる頂点まで

調べました。また、（２）で、５回目の操作について調べました。　

なので、３回目と４回目の操作について調べればよいですね。

３回目の操作について調べます。

①、②、③、④から進める頂点は

　操作１　　①　→　④

　　　　　　　②　→　⑤

　　　　　　　③　→　①

　　　　　　　④　→　②

　操作２　　①　→　②

　　　　　　　②　→　③

　　　　　　　③　→　④

　　　　　　　④　→　⑤

　操作３　　①　→　①

　　　　　　　②　→　⑤　　・・・　操作１と同じ結果

　　　　　　　③　→　④　　・・・　操作２と同じ結果

　　　　　　　④　→　③

と、１０通りあることがわかります。

次に、４回目の操作について調べます。４回目の操作後に

頂点①、③になるのは、以下のＡ～Ｆ の６通りあり、

　　操作１の直後に①にいるのは、③　　・・・　A

　　操作２の直後に①にいるのは、⑤　　・・・　B

　　操作３の直後に①にいるのは、①　　・・・　C

　　操作１の直後に③にいるのは、⑤　　・・・　D

　　操作２の直後に③にいるのは、②　　・・・　E

　　操作３の直後に③にいるのは、④　　・・・　F

（２）の結果と合わせると、４回目、５回目の操作で

　A　【　③　①　④　】　B　【　⑤　①　④　】　C　【　①　①　④　】

　D　【　⑤　③　④　】　E　【　②　③　④　】　Ｆ　【　④　③　④　】

となります。つまり、３回目が終わって⑤にいるときだけ、その後

２通りの方法があり、それ以外の頂点では動きは１通りです。

（１）より、１回目と２回目の点Aの動きは、下の５通りあり、

　【　②　⑤　③　】　【　②　⑤　①　】　【　②　⑤　②　】

　【　②　③　①　】　【　②　③　④　】

３回目の操作では、①と④からは３通り、②と③からは２通り

の移動先があって、

　【　②　⑤　①　①　】【　②　⑤　①　②　】【　②　⑤　①　④　】

　【　②　③　①　①　】【　②　③　①　②　】【　②　③　①　④　】

　【　②　⑤　②　⑤　】【　②　⑤　②　③　】

　【　②　⑤　③　①　】【　②　⑤　③　④　】

　【　②　③　④　②　】【　②　③　④　③　】【　②　③　④　⑤　】

これに４回目、５回目の操作結果（Ａ～Ｆ）を加えると、

　【　②　⑤　①　①　①　④　】【　②　⑤　①　②　③　④　】

　【　②　⑤　①　④　③　④　】

　【　②　③　①　①　①　④　】【　②　③　①　②　③　④　】

　【　②　③　①　④　③　④　】

　【　②　⑤　②　⑤　①　④　】【　②　⑤　②　⑤　③　④　】

　【　②　⑤　②　③　①　④　】

　【　②　⑤　③　①　①　④　】【　②　⑤　③　④　③　④　】

　【　②　③　④　②　③　④　】【　②　③　④　③　①　④　】

　【　②　③　④　⑤　①　④　】【　②　③　④　⑤　③　④　】

以上の１５通り があることがわかります。

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