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2016年5月27日 (金)

点の移動 第52問 (筑波大学附属駒場中学 入試問題 2016年(平成28年度) 算数)

問題  (筑波大学附属駒場中学 入試問題 2016年 算数)
 
      難易度★★★★
 
       0026
 
上の図のように、点Oを中心とする円と、その円周上に点A,Bが
 
あり、OAとOBは垂直です。3点P,Q,Rは、次のように円周上を
 
動きます。
 
 P はAを出発して、反時計回りに動き、6分で円を1周します。
 
 Q はBを出発して、反時計回りに動き、6分で円を2周します。
 
 R はAを出発して、時計回りに動き、6分で円を3周します。
 
P,Q,Rは同時に動き始め、それぞれ一定の速さで円周上を
 
動き、6分後に3点とも止まります。
 
 PとQ、QとR、RとPをまっすぐな線で結んで作った図形PQRに
 
ついて、次の問に答えなさい。
 
 
 
(1)P,Q,Rのうちの2点が重なり、図形PQRが三角形に
 
   ならないことが何度もあります。初めて三角形にならないのは
 
   動き始めてから何秒後ですか。また、2度目、3度目に三角形
 
   にならないのは、動き始めてから、それぞれ何秒後ですか。
 
 
(2)図形PQRが三角形で、その辺上に中心Oがあるのは、動き
 
   始めてから何秒後ですか。考えられるものをすべて答えなさい。
 
 
(3)図形PQRが正三角形になるのは、動き始めて何秒後ですか。
 
   考えられるものをすべて答えなさい。
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解答
 
 (1)P、Q、R の速さの比は、1:2:3 ですね。
 
Pの分速を【1】としたとき、円の長さは、【1】×6=【6】です。
 
 
 
図形PQRが初めて三角形にならないのは、QとRが重なるときで
 
最初に、QとRは、【6】の3/4離れているので、2点が出会うのは、
 
   【6】×3/4÷(【2】+【3】)=0.9分後=54秒後
 
です。
 
2度目に三角形にならないのは、PとRが重なるときで、
 
   【6】÷(【1】+【3】)=1.5分後=90秒後
 
です。(PとRが90秒ごとに重なることがわかります)
 
3度目に三角形にならないのは、QがPに追いついたときか、
 
QとRが2度目に重なるときの、どちらかと考えられます。
 
QがPに追いつくのは、
 
   【6】×3/4÷(【2】-【1】)=4.5分後
 
QとRが2度目に重なるのは、
 
   0.9+【6】÷(【2】+【3】)=2.1分後
 
なので、3度目に三角形にならないのは、126秒後です。
 
(QとRが1.2分=72秒ごとに重なることがわかります)
 
 
 
 (2)図形PQRの辺上に点Oがあるとき、その辺の2点は
 
点Oをはさんで真反対側(【3】離れたところ)にあります。
 
点Pと点Qが【3】離れるのは、最初の位置で【1.5】離れている
 
ので、
 
   (【3】-【1.5】)÷(【2】-【1】)=1.5分後=90秒後
 
です。(1)より、点Pと点Qが重なるのが4.5分後なので、
 
6分以内に、再び点Pと点Qが【3】離れた位置に来ることは
 
ないです。
 
 
 
また、(1)より、QとRが1.2分=72秒ごと、PとRが90秒ごとに
 
重なるので、重なってから QとRが36秒前後、PとRが45秒
 
前後に【3】離れた位置になることがわかります。
 
 
 
点Pと点Rは、45秒後、135秒後、225秒後、315秒後です。
 
点Qと点Rは、18秒後、90秒後、162秒後、234秒後、
 
         306秒後です。
 
ただし、90秒後には三角形にならないので、答えは、
 
   18秒後、45秒後、135秒後、162秒後、
 
   225秒後、234秒後、306秒後、315秒後
 
です。
 
 
 
 (3)正三角形PQRができるとき、3点は【2】ずつ離れた位置に
 
いるので、3点のうちの2点が【2】離れる時間を求め、そのときに
 
残りの1点が【2】離れている条件を満たすか調べます。
 
 
 
点Pと点Qが【2】離れる回数が少ないので、これを調べます。
 
最初に点Pと点Qは【1.5】離れているので、【2】になるのは、
 
   (【2】-【1.5】)÷(【2】-【1】)=0.5分後
 
です。
 
2回目に【2】離れるのは、点Qが点Pに追いついていったときで
 
最初に【4.5】離れていると見なせるので、
 
   (【4.5】-【2】)÷(【2】-【1】)=2.5分後
 
です。
 
3回目に【2】離れるのは、点Qが点Pを追い越して【2】離れた
 
ときで、
 
   (【4.5】+【2】)÷(【2】-【1】)=6.5分後
 
なので、6分以上かかります。
 
よって、0.5分後と2.5分後の点Rの位置について調べてみると
 
  0.5分後は、【3】×0.5=【1.5】
 
  2.5分後は、【3】×2.5=【7.5】
 
の位置で、1周【6】なので、2.5分後も点Aから【1.5】の位置と
 
わかります。
 
 
 
0.5分後の3点の位置は、
 
  点Pは点Aから【0.5】、点Qは点Bから【1】→点Aから【2.5】、
 
  点Rは点Aから【1.5】
 
2.5分後の3点の位置は、
 
  点Pは点Aから【2.5】、点Qは点Bから【5】→点Aから【0.5】、
 
  点Rは点Aから【1.5】
 
なので、共に正三角形になります。(点Rだけ時計回りです)
 
よって、正三角形になるのは、30秒後と150秒後の2回です。
 
 
 
 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

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