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2016年4月28日 (木)

図形の移動 第60問 (栄光学園中学 受験問題 2016年(平成28年度) 算数)

 
問題 (栄光学園中学 受験問題 2016年 算数)
 
     難易度★★★★
 
 
 
1辺の長さが30cmの正方形ABCD を、その向きを保ったまま
 
(回転することなく)動かしたとき、正方形の辺が通過した部分に
 
ついて考えます。次の問に答えなさい。
 
 
 
(1)下の図1のように、点A をまっすぐ点Oまで動かしたとき、
 
   正方形の辺が通過した部分は、図2の色のついた部分に
 
   なります。この部分の面積を求めなさい。
 
    0015
 
 
(2)下の図3のように、正方形ABCD が長方形の中に入って
 
   います。正方形と長方形のたてと横の辺の向きは同じで、
 
   正方形がその向きを保ったまま長方形の中を動きます。
 
   正方形が動けるところをすべて動くとき、正方形の辺が
 
   通過できる部分の面積を求めなさい。
   0016
 
(3)下の図4のように、正方形ABCD が大きな正方形の中に
 
   入っています。正方形ABCD のたてと横の辺の向きは、
 
   大きな正方形の対角線の向きと同じで、正方形ABCD は
 
   その向きを保ったまま大きな正方形の中を動きます。正方形
 
   ABCD が動けるところをすべて動くとき、正方形ABCD の
 
   辺が通過できる部分の面積を求めなさい。

   0017

 
(4)下の図5のように、正方形ABCD が円の中に入っていて、
 
   正方形はその向きを保ったまま円の中を動きます。正方形が
 
   動けるところをすべて動くとき、正方形の辺が通過できる
 
   部分の面積を求めなさい。ただし、1辺の長さが30cmの
 
   正三角形の高さは26cmであるものとします。また、円周率は
 
   3.14とします。
    0018
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----------------------------------------------
解答
 
 (1)下の図6の黄色い部分と赤い部分の面積が同じなので、

  0019

求める面積は、
 
   30×30×2-15×15=1575c㎡
 
です。
 
 
 
 (2)正方形の辺が通過できる部分は、下の図7の青い部分で、
 
黄色い部分は通過できません。

   0020  

黄色い部分の縦の長さは、30+30-40=20cm
 
黄色い部分の横の長さは、30+30-50=10cm
 
なので、求める面積は、
 
   40×50-10×20=1800c㎡
 
となります。
 
 
 
 (3)大きな正方形の角に正方形ABCDを動かすと、下の図8
 
のようになります。 

   0021

正方形ABCDの辺が通過できる部分は、下の図9の黄色い
 
部分で、青い部分は通過できません。

    0022_3

よって、求める面積は、
 
 80×80÷2-( 30×15÷2×4+10×10 )= 2200c㎡
 
となります。
 
 
 
 
 (4)まず、円の上の部分に正方形ABCDが移動すると、
 
下の図10のようになり、青い三角形が1辺30cmの正三角形に
 
なるので、正方形は円の中心から4cm下に出ます。 

   0023

次に、図10の状態から、左へ円周に沿って移動すると、
 
下の図11のようになり、黄色い30°の扇形の部分を
 
正方形ABCDの辺が通過できる可能性があります。

   0024_3  

正方形ABCDの辺が通過できる、すべての範囲は、下の図12
 
の青い部分と黄色い部分を合わせたものになり、円の中心に
 
ある、1辺8cmの正方形の部分は通過できません。 

   0025

よって、求める部分の面積は、
 
    30×26÷2×4個 + 30×30×3.14×30/360×4個
 
     -8×8
 
     =2438c㎡
 
となります。
 
 
 栄光学園中学の他の問題は → こちら
 

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