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2016年4月15日 (金)

場合の数 並べ方 第83問 (東大寺学園中学 入試問題 2016年(平成28年度) 算数)

 

問題 (東大寺学園中学 入試問題 2016年 算数)

     難易度★★★

 

3種類の数字1,2,3を次の規則①、②、③に従って、左から

順に一列に並べます。

 

  規則① 1の次は 3

  規則② 2の次は 2 または 3

  規則③ 3の次は 1 または 2 または 3

 

例えば、2個の数字を並べるとき、13,22,23,31,32,33 の

6通りの並べ方があります。このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)4個の数字を並べるとき、左から1番目と4番目が2となる

   並べ方は全部で何通りありますか。

(2)10個の数字を並べるとき、左から1,4,10番目が2となり、

   左から7番目が1となる並べ方は全部で何通りありますか。

(3)10個の数字を並べるとき、左から1,4,10番目が2となる

   並べ方は全部で何通りありますか。

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解答

 (1)2□□2 という並びになるものは、

    2222,2232,2322,2332

4通り です。

 

 (2)2□□2□□1□□2 という並びについて考えます。

先頭の 2□□2 の部分に関しては、(1)より4通りの並びがあります。

次の 2□□1 という並びになるものは、

    2231,2331

の2通りがあります。

最後の 1□□2 という並びになるものは、

     1322,1332

の2通りがあります。

 

よって、2□□2□□1□□2 という並びになるのは、

     4×2×2=16通り

となります。

 

 (3)2□□2□□□□□2 という並びについて考えます。

(2)より、2□□2□□1□□2 という並びになるのは、16通り。

(1)より、2□□2□□2□□2 という並びになるのは、

   4×4×4=64通り

とわかるので、2□□2□□3□□2 という並びになる並べ方が

わかれば、2□□2□□□□□2 という並びになる並べ方が

わかります。

 

2□□2□□3□□2 という並び方について考えると、

(1)より、2□□2 ・・・ 4通り

2□□3 となるのは、

 2223,2233,2313,2323,2333 の5通り

3□□2 となるのは、

 3132,3222,3232,3322,3332 の5通り

なので、4×5×5=100通り の並べ方があります。

 

以上より、2□□2□□□□□2 となる並べ方は、

  16+64+100=180通り

あります。

 

 

 東大寺学園中学の他の問題は → こちら

 東大寺学園中学の過去問題集は → こちら

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