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2016年3月 4日 (金)

数の性質 第98問 倍数 (麻布中学 入試問題 2016年(平成28年度) 算数)

 

問題 (麻布中学 入試問題 2016年 算数) 難易度★★★★

 

2016 は各位の和が 9 となる4ケタの整数です。

このような整数を小さい順に並べると、次のようになります。

 1008,1017,1026,1035,・・・,9000

この数の列について、以下の問いに答えなさい。

 

(1)2016は何番目にありますか。

 

この数の列にある整数は、すべて 9 の倍数です。したがって

これらの整数は 3 で2回以上割り切れることがわかります。

たとえば、1026を 3 で割っていくと、

 1026÷3=342 342÷3=114 114÷3=38

 38÷3=12あまり2

となり、3回目までは割り切れますが、4回目は割り切れません。

このとき、「1026は 3 でちょうど3回割り切れる」ということに

します。

 

(2)この数の列の中には、5 でちょうど3回割り切れる整数が

   いくつかあります。それらのうち、最も小さい整数と、3番目

   に小さい整数を答えなさい。

 

(3)2016は 2 でちょうど5回割り切れるしえ数です。このような

   整数は列の中に 2016 を除くと 3個あります。それらを

   すべて答えなさい。

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解答 

 (1)千の位が1、百の位が0の数は、1008~1080まで 9個。

千の位が1、百の位が1の数は、1107~1170 まで 8個。

千の位が1の数のうち、最も大きい数は、1800 で、

千の位が1の数は、全部で、

 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45個

あります。

 

千の位が2の数は、2007,2016,2025,… と続くので、

2016は、45+2=47番目 とわかります。

 

 

 (2)5で3回割り切れるということは、5×5×5=125の倍数

ということです。また、この数の列にある数は、9の倍数なので、

125の倍数で、かつ 9の倍数、つまり、125×9=1125の倍数

を探せばよいことがわかります。

 

調べると、

 1125 → 1+1+2+5=9

 1125×2=2250 → 2+2+5+0=9

 1125×3=3375 → 3+3+7+5=18

 1125×4=4500 → 4+5+0+0=9

となるので、最も小さい数は、1125、3番目の数は、4500

わかります。

 

 

 (3)2で5回割り切れるので、2×2×2×2×2=32の倍数

で、9の倍数、すなわち、32×9=288の倍数 を探せばよい

ということになります。

 

288×□ を調べていくわけですが、□=偶数では、2で6回以上

割り切れてしまうことになるので、□=奇数です。 

 

288×3=864 (300×3=900なので、当然4ケタにならない)

288×5=1440 → 1+4+4+0=9

この先はセンスですが、1440 をさらに元とする発想があると、

 1440×3=4320 → 4+3+2+0=9

 1440×5=7200 → 7+2+0+0=9

と、すべて求めることができます。

 

答えは、1440、4320、7200 です。

 

 

 麻布中学の過去問題集は → こちら

 麻布中学の他の問題は → こちら

 

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