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2016年3月19日 (土)

平面図形の角度 第96問 (渋谷教育学園幕張中学 受験問題 2016年(平成28年度) 算数)

 

問題 (渋谷教育学園幕張中学 受験問題 2016年 算数)

     難易度★★★★

  0006_2

上の図のような図形があります。この図形は、すべての辺の

長さが2cmで、a の角の大きさと b の角の大きさは、それぞれ

すべて等しく、a の角の大きさは b の角の大きさの10倍です。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)a の角の大きさは何度ですか。

(2)この図形の面積は何c㎡ ですか。

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解答

 (1)この図形は、24角形で、24角形の内角の和は、

    180×(24-2)=3960度

です。

 

これに対して、この図形の内角の和は、

 a ×12 + b ×12

で、b の角度が a の角度の10倍なので、

 a ×12 + a ×10×12 = a ×132

と表すことができます。

 

よって、a の角度は、3960÷132=30度 と求められます。

 

 (2)下の図1のように、図形の中に正12角形を作ることが

できます。

  0007

この正十二角形の中心から、各頂点に線を引くと、図1のように

12個の三角形ができます。この黄色い三角形は、頂角が、

360÷12=30度 なので、角a と等しいことがわかります。

 

図1の外側の三角形と、黄色い三角形は、1つの辺が共通して

いるので、合同です。

 

つまり、この図形は、黄色い三角形が24個集まったものと

考えることができます。

 

下の図2のように、頂角が30°の二等辺三角形に垂線を引くと

  0008_2

30°、60°、90°の直角三角形を作ることができ、

正三角形の半分なので、斜辺が2cmなら、高さが1cm

とわかります。

 

よって、図形の面積は、

 2×1÷2×24個=24c㎡

です。

 

 

 渋谷教育学園幕張中学の過去問題集は → こちら

 渋谷教育学園幕張の他の問題は → こちら

 

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