平面図形の角度 第９６問 （渋谷教育学園幕張中学 受験問題 2016年（平成28年度） 算数）

問題　（渋谷教育学園幕張中学　受験問題　2016年　算数）

　　　　 難易度★★★★

　　

上の図のような図形があります。この図形は、すべての辺の

長さが２ｃｍで、ａ の角の大きさと ｂ の角の大きさは、それぞれ

すべて等しく、ａ の角の大きさは ｂ の角の大きさの１０倍です。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）ａ の角の大きさは何度ですか。

（２）この図形の面積は何ｃ㎡ ですか。

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解答

　（１）この図形は、２４角形で、２４角形の内角の和は、

　　　 １８０×（２４－２）＝３９６０度

です。

これに対して、この図形の内角の和は、

　ａ ×１２　＋　ｂ ×１２

で、ｂ の角度が ａ の角度の１０倍なので、

　ａ ×１２　＋　ａ ×１０×１２ ＝ ａ ×１３２

と表すことができます。

よって、ａ の角度は、３９６０÷１３２＝３０度 と求められます。

　（２）下の図１のように、図形の中に正１２角形を作ることが

できます。

　　

この正十二角形の中心から、各頂点に線を引くと、図１のように

１２個の三角形ができます。この黄色い三角形は、頂角が、

３６０÷１２＝３０度 なので、角ａ と等しいことがわかります。

図１の外側の三角形と、黄色い三角形は、１つの辺が共通して

いるので、合同です。

つまり、この図形は、黄色い三角形が２４個集まったものと

考えることができます。

下の図２のように、頂角が３０°の二等辺三角形に垂線を引くと

　　

３０°、６０°、９０°の直角三角形を作ることができ、

正三角形の半分なので、斜辺が２ｃｍなら、高さが１ｃｍ

とわかります。

よって、図形の面積は、

　２×１÷２×２４個＝２４ｃ㎡

です。

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