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2016年2月12日 (金)

規則性の問題 図形 第39問 (桜蔭中学 受験問題 2016年(平成28年度) 算数)

問題 (桜蔭中学 受験問題 2016年 算数)   難易度★★★

 

 1辺の長さが2cmの正方形を下の図1のように、4個、6個、

8個、・・・ と並べて図形を作っていきます。さらに、できた図形を

直線AB のまわりに1回転させて立体を作ります。

 

0001

このとき、次の問いに答えなさい。

 

(1)正方形を6個並べた図形を直線AB のまわりに1回転させて

   できる立体の体積と表面積を求めなさい。

(2)立体の体積が11304c㎥ となるとき、もとの図形の正方形

   の個数を求めなさい。

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解答

 (1)部分部分に分けて、下の図2の赤い部分の体積から

求めると、

       0002_2

2×2×3.14×4=16×3.14(c㎥) となります。

 

続いて、下の図3の青い部分の体積を求めると、

       0003

4×4×3.14×4-(2×2×3.14×4) となり、

緑の部分の体積は、

6×6×3.14×4-(4×4×3.14×4) となります。

 

これらを合わせると、緑+青+赤は、

  6×6×3.14×4-(4×4×3.14×4)

+4×4×3.14×4-(2×2×3.14×4)

+2×2×3.14×4

=6×6×3.14×4=452.16(c㎥)

となります。

 

つまり、下の図4の図をABのまわりに回転させた

立体と同じということですね。

       0004

続いて、表面積は、立体を上下から見たとき

 6×6×3.14 の面積の円が2個

側面から見たとき

 6×2×3.14×4+4×2×3.14×2×2

+2×2×3.14×2×2

という側面があるので、合計すると、

  (72+48+32+16)×3.14

=168×3.14

527.52(c㎡)

と求められます。

 

 (2)体積は、(1)より、□×□×3.14×4 と表せるので、

 □×□×3.14×4=11304

となるのは、

 □×□=900

のときで、□=30cm とわかります。

(1)より、=正方形の個数なので、正方形は30個 です。

 

 

 桜蔭中学の他の問題は → こちら

 桜蔭中学の過去問題集は → こちら

 

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