数の性質 第９６問 （筑波大学附属駒場中学 受験問題 2015年（平成27年度） 算数）

問題　（筑波大学附属駒場中学　受験問題　2015年　算数）

　　　　 難易度★★★☆

縦１００個、横１００個、全部で１００００個のマス目が書かれた

表があります。表のそれぞれのマス目には、次のように整数が

１つずつ書かれています。

１行目には、すべて１が書かれています。

２行目には、１から１ずつ増える数が１００個、順に並びます。

３行目には、１から２ずつ増える数が１００個、順に並びます。

４行目には、１から３ずつ増える数が１００個、順に並びます。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

９９行目には、１から９８ずつ増える数が１００個、順に並びます。

１００行目には、１から９９ずつ増える数が１００個、順に並びます。

　　　　

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）この表に、１００は全部で何個書かれていますか。

（２）この表に、ちょうど５個書かれている整数があります。

　　 そのような数のうち、最も小さいものを答えなさい。

（３）１００から２００までの整数のうち、この表にちょうど１個だけ

　　 書かれている数をすべて答えなさい。

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解答

　（１）下の図１のように、マス目に書かれている数を分類する

ことができます。

１００ という数の登場回数を考えるには、

１００ は、何で割ると１余る数なのか、ということを考えれば

よいことになります。

１００ は、何かで割ると１余る、つまり、９９の約数を考えれば

よいので、３，９，１１，３３，９９ の５個があります。

また、２段目には、１から１００までの数があるので、

１００ の登場回数は、５＋１＝６個 と求められます。

　（２）求める数を□とすると、□は、何かで割ると１余ります。

　　　 □－１＝△

とすると、△が１から１００の間の数の場合、表に５個書かれて

いるなら、（１）より、△の約数が１を含めて５個あるということに

なります。

約数が奇数の整数は、▲×▲ のような、同じ数をかけた整数

なので、このような数で、約数が５個のものを考えると、最小の

数は、１６ です。

よって、求める数は、１６＋１＝１７ です。

　（３）これも、▲×▲ のような、同じ数をかけた整数を求めれる

ことで、求められます。

たとえば、３×３＝９　で、９＋１＝１０ ですが、１０という数は

表には、１から１００までの段、３で割ると１余る段、９で割ると１

余る段 の ３個がありますが、▲×▲ が １００を超えると、

表には１個だけの登場となります。

▲の条件としては、約数がないことが条件となります。

（約数があると、登場回数が増える）

１００から２００までで考えると、▲＝１１、１３ の２個が当てはまり、

ちょうど１個だけ書かれている数は、

　１１×１１＋１＝１２２

　１３×１３＋１＝１７０

の２個とわかります。

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