場合の数 第８６問 （駒場東邦中学 入試問題 2015年（平成27年度） 算数）

問題　（駒場東邦中学　入試問題　2015年　算数）

　　　　 難易度★★★★

2015のように各位の数字がすべて異なる整数を

「おもしろい整数」とします。

（１）４ケタの整数のうち、「おもしろい整数」は何個ありますか。

（２）「おもしろい整数」ではない４ケタの整数が最も長く連続

　　 するのは、【　ア　】から【　イ　】の【　ウ　】個です。ア、イ、ウ

　　 にあてはまる整数を答えなさい。

（３）４ケタの「おもしろい整数」が連続するのは、2013から2019

　　 のように、最も長くても７個です。このように４ケタの「おも

　　 しろい整数」が７個連続するうち、一番小さい「おもしろい

　　 整数」の一の位が ９ である場合をすべて答えなさい。

　　 なお、答えは「2013から2019」のように答えなさい。

----------------------------------------------

----------------------------------------------

解答

　（１）問題文の書き方が違いますが、この問題で聞かれている

ことは、【０～９までの１０枚のカードを使って作ることができる

4ケタの整数の数】を求めることです。

よって、９×９×８×７＝４５３６個 となります。

　（２）【「おもしろい整数」ではない整数】 というのは、

同じ数が使われている整数になります。それが連続するのは、

どのような場合があるか調べると、

　　１０９９、１１００～１１９９、１２００、１２０１、１２０２

のように、千の位と百の位が同じ数のときに最も多く連続します。

（１００個以上になる）

　２１９９～２３００、３２９９～３４００、４３９９～４５００、

　５４９９～５６００、６５９９～６７００、７６９９～７８００、

　８７９７～８９００、９８７７～９９９９

となるので、最も長く連続するのは、

　【　ア　】＝９８７７、【　イ　】＝９９９９、

　【　ウ　】＝９９９９－９８７６＝１２３個

とわかります。

　（３）一番小さい「おもしろい整数」の一の位が ９ なので、

一番大きい「おもしろい整数」の一の位は ５ になります。

　　　○△□９、○△■０、○△■１、・・・、○△■５

の７個になります。（ □は、１くり上がって■になりました）

あと使うことができる数字は、６，７，８ です。

ここで、□→■へのくり上がりに注目して、□と■に入ることが

できる数字を考えると、

　５　→　６　・・・　可能

　６　→　７　・・・　○、△に８しか入れられないので不可

　７　→　８　・・・　○、△に６しか入れられないので不可

　８　→　９　・・・　可能

となります。

よって、条件に合うものは

　７８５９から７８６５、８７５９から８７６５

　６７８９から６７９５、７６８９から７６９５

の４通りとなります。

　駒場東邦中学の過去問題集は　→　こちら 　

　駒場東邦中学の他の問題は　→　こちら