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2015年2月27日 (金)

規則性の問題 図形 第38問 (桜蔭中学 入試問題 2015年(平成27年度) 算数)

 

問題 (桜蔭中学 入試問題 2015年 算数) 

     難易度★★★★★

 

いろいろな大きさの正三角形を、次のように置いていきます。

はじめに、下の図1のように 1辺の長さが 1cm の正三角形

3枚【1】、【2】、【3】と、1辺の長さが2cmの正三角形2枚【4】、

【5】を置きます。次からは、できた図形の最も長い辺を1辺と

する正三角形を元の図形のとなりに、下の図2のようにうずまき

状に置いていきます。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_4172q

(1)【17】の正三角形を置いたとき、できる図形の周の長さは

   何cmですか。

(2)【15】の正三角形を置いたとき、できる図形の面積は、

   【1】の正三角形の面積の何倍ですか。

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解答

 (1)図形の周の長さを【6】まで調べると、下の表1のように

なります。

  Pic_4173a

【8】まで調べると、下の表2のようになります。

Pic_4174a

ここで、【5】から【6】、【6】から【7】、【7】から【8】へ増える

周の長さは、下の表3のように、3cm、4cm、5cm です。

これは、【1】、【2】、【3】まで並べたときの周の長さと同じです。

Pic_4175a

上の図3のように、【7】までの図形に【8】を増やすと、周の長さは、

ABの長さ1本分がなくなりますが、逆にABの長さ2本分が増える

ので、差し引きで ABの長さ1本分が増えます。ABの長さは、

図3の赤線の【3】までの図形の周の長さと等しくなっています。

 

図3に、【9】を増やすと、増える長さは【4】まで並べた図形の周

の長さと等しくなります。

 

このことから、【17】まで正三角形を並べた図形の周の長さは、

下の表4より、

Pic_4176a

265cm と求められます。

 

 

<別解>

 辺の長さに注目してみます。

  【6】の1辺の長さ=【1】+【5】

  【7】の1辺の長さ=【2】+【6】

  【8】の1辺の長さ=【3】+【7】

  【9】の1辺の長さ=【4】+【8】

のようになっているので、

  【17】の1辺の長さ=【12】+【16】

です。辺の長さについては、下の表5のように求められます。

Pic_4177a

次に、図形について考えると、図形は最も外側にある5個の

正三角形によって囲まれていることがわかります。

ただ、最も大きい正三角形の1辺は2本分カウントされて

いるので、【17】まで並べてできる図形の周の長さは、

 65×2+49+37+28+21=265cm

となります。

 

 

 (2)面積について考えると、たとえば【7】まで並べた場合、

下の図4のように【4】と【6】をいったん加えた大きい正三角形を

考え、【4】と【6】の面積を除けば求めることができます。

 Pic_4178a

【15】の場合は、【15】と【14】の1辺の長さを合わせた長さの

正三角形の面積から、【14】と【12】の面積を除けばよいことに

なります。

 

表5より、

 【15】と【14】の1辺の長さの合計=65cm

 【14】の1辺の長さ=28cm

 【12】の1辺の長さ=16cm

で、長さの比がわかるので、面積比=長さ×長さ で求められ、

【1】の正三角形の面積を 1 とすると、【15】まで並べた図形の

面積は、

 65×65-(28×28+16×16)

=65×65-(4×7×4×7+16×16)

=65×65-(16×49+16×16)

=65×65-16×(49+16)=65×65-16×65

=65×(65-16)=65×49

3185倍

と求められます。

 

 

 桜蔭中学の過去問題集は → こちら

 桜蔭中学の他の問題は → こちら

 

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