平面図形の長さ 第６１問 （神戸女学院中学部 入試問題 2015年（平成27年度） 算数）

問題　（神戸女学院中学部　入試問題　2015年　算数）

　　　　 難易度★★★★

　　　　　

上の図は、１辺１２ｃｍ の正方形と半径１２ｃｍの円一部を

組み合わせたものです。次の問に答えなさい。

（１）図の色の付いた部分の周りの長さの和を求めなさい。

（２）図の色の付いた部分の面積の和を求めなさい。

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解答

　（１）下の図１において、三角形ＡＢＤ，三角形ＡＣＥ は

３辺の長さが等しいので、正三角形です。

　　　　　

角ＣＡＤ＝角ＤＡＥ＝角ＥＡＢ＝３０°とわかります。

よって、緑の扇形は、中心角３０°、半径１２ｃｍ です。

次に、下の図２のように、青い線の弧ＤＥ を作る

半径１２ｃｍの円の中心Ｆ があり、

三角形ＡＤＥ と三角形ＦＤＥ は、３辺の長さが等しくなるので、

合同です。よって、扇形ＦＤＥ も中心角は３０°です。

よって、求める長さは、弧ＤＥ の長さの８倍で、

　 １２×２×３．１４×３０/３６０×８＝５０．２４ｃｍ

です。

　（２）下の図３の緑の部分の面積は、扇形ＡＤＥ － 三角形ＡＤＥ

として求めることができます。

　　　　　

三角形ＡＤＥ の頂点Ｄ からＡＥに垂線を下ろし、交点を点Ｇ

とすると、三角形ＡＤＧ は、角ＤＡＧ＝３０°、角ＡＤＧ＝６０°、

角ＡＧＤ＝９０°の直角三角形になるので、ＡＤ＝１２ｃｍ より、

ＤＧ＝６ｃｍ です。

よって、求める面積は、図３の緑の部分の面積×８なので、

　（１２×１２×３．１４×３０/３６０－１２×６÷２）×８

＝（１２×３．１４－１２×３）×８

＝１２×０．１４×８＝９６×０．１４

＝１３．４４ｃ㎡

です。

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