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2015年1月28日 (水)

場合の数 第85問 (開智中学 受験問題 2015年(平成27年度) 算数)

 

問題 (開智中学 受験問題 2015年 算数) 難易度★★★★

 

6つの面に1から6までの数字が1つずつ書かれているサイコロ

があります。このサイコロを1回以上何回かふります。たとえば、

出た目の数の合計が 3 になるとき、サイコロの目の出方は、

  3 、 2+1 、 1+2 、 1+1+1

の4通りあります。このとき、次の問いに答えなさい

 

(1)出た目の数の合計が 4 になるとき、サイコロの目の出方は

   何通りありますか。

(2)出た目の数の合計が 6 になるとき、サイコロの目の出方は

   何通りありますか。

(3)出た目の数の合計が 8 になるとき、サイコロの目の出方は

   何通りありますか。

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解答

 (1)出た目の数の合計が 4 になる目の出方は、

4 、 

3+1 、 2+2 、 1+3 、 

2+1+1 、 1+2+1 、 1+1+2 、 

1+1+1+1

より、

 1+3+3+1=8通り

です。

 

 (2)出た目の数の合計が 6 になる目の出方は、

1回で6になるとき、

 6 ・・・ 1通り

2回で6になるとき、

 (5,1) ・・・ 2通り

 (4,2) ・・・ 2通り

 (3,3) ・・・ 1通り

3回で6になるとき、

 (4,1,1) ・・・ 3通り

 (3,2,1) ・・・ 6通り

 (2,2,2) ・・・ 1通り

4回で6になるとき、

 (3,1,1,1) ・・・ 4通り

 (2,2,1,1) ・・・ 6通り

5回で6になるとき、

 (2,1,1,1,1) ・・・ 5通り

6回で6になるとき、

 (1,1,1,1,1,1) ・・・ 1通り

 

以上より、1+5+10+10+5+1=32通り です。

 

 (3)(1)の1+3+3+1、(2)の1+5+10+10+5+1 は

パスカルの三角形の一部です。

 

パスカルの三角形を書くと、出た目の数の合計が 6 になるのは

 1+7+21+35+35+21+7+1=128通り

と考えられますが、この式では、1回でサイコロの目が8になる

場合がカウントされており、また、サイコロの7の目が出る想定に

計算されています。

 

ありえない、サイコロの8の目、7の目を用いて、出た目の合計が

8になる目の出方 :

 1回で8が出る場合

 2回で、7+1、1+7の場合

の3通りは除かなければならないので、答えは、

 128-3=125通り

となります。

 

なお、(2)と同様に地道に計算しても125通りとなります。

 

 

   開智中学(埼玉)の過去問題集は → こちら

   開智中学の他の問題は → こちら

 

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