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2015年1月30日 (金)

点の移動 第51問 (栄東中学 入試問題 2015年(平成27年度) 算数)

 

問題 (栄東中学 入試問題 2015年 算数) 難易度★★★★

 

下の図のように、直径4cmの半円1つと、直径2cmの半円1つ

と、直径1cmの半円2つを組み合わせた図形があります。いま、

点P、Qは同時に点Aを出発して、この図形の周上を点Pは時計

回りに、点Qは点Pが移動する2分の1の速さで反時計回りに

移動します。2点P,Qが移動後に初めて重なるときの位置を

点C とし、3点P,O,Qが移動後に初めて一直線上に並ぶ

ときの点P,Qの位置をそれぞれ点D,E とします。このとき

次の問に答えなさい。

Pic_4158q

(1)点C の位置を図に示しなさい。

(2)角CODの大きさを求めなさい。

(3)三角形OEC と四角形ACBDの面積の比を最も簡単な

   整数の比で表しなさい。

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解答

 (1)点P がBまで、点QがOまで移動するときの長さは、

 弧AB の長さ=4×3.14×180/360

 弧AO の長さ=2×3.14×180/360

より、ちょうど2倍になっているので、点Pが点Bに移動したとき、

点Qは点Oに移動しています。

 

点Pが点Bから I へ移動する半円と、点Qが点Oから I へ

移動する半円は全く同じなので、下の図1のように、

1つの円を左右に移動すると考えるとわかりやすくなり、

    Pic_4159a

Pの速さはQの速さの2倍なので、進む角度の比も ② : ① で、

2つの点が重なるのは、360÷3=120°より、

点Q が120度進んだところなので、点C は下の図2の位置に

なります。

Pic_4160a

 (2)点P が点Aから点Bへ180度回転移動する間に、

点Q は点Aから点Oへ180度回転します。2点とも

一定の速さで移動するので、常に 角AOP=角AOQ

ということになり、下の図3の角BOD=角EHO で、

Pic_4161a

角BOD=角EOA なので、三角形EOHは3つの角が等しい

正三角形 とわかり、図3の○=60°です。

 

(2)より、角COB=30°と求められ、

 角COD=60+30=90°

です。

 

 (3)下の図4で、DE と IC が、角EOC=角 ICO=90°

なので平行です。

Pic_4162a

三角形OEC の面積は、等積変形により、三角形OE I の面積と

等しいことがわかり、さらに、OH=OI なので、正三角形OEH の

面積とも等しいことがわかります。

 

次に、四角形ACBDについては、三角形ACB と三角形ADB 

に分けて考えます。下の図5で、三角形CGI は正三角形で、

三角形ACB と 三角形CGI は、AB:GI =4:0.5 より、

面積比は、8:1となります。

 

Pic_4163a

次に、三角形OEC と面積が等しいことがわかっている

三角形OEHは、三角形CGI の4倍の面積なので、

三角形OEC : 三角形ACB = 4 : 8 = 1 : 2

という面積比になります。

 

一方、三角形ABD については、DE が直線で、

EO : DO = 1 : 2 なので、

三角形OEH : 三角形ODH = 1 : 2 という面積比なので

三角形ABD は 三角形ODHの面積の4倍なので、

三角形OEH : 三角形ABD = 1 : 8 という面積比です。

 

よって、三角形OEC の面積を1とすると、四角形ACBDの面積は

2+8=10 となるので、面積比は、1 : 10 となります。

 

 

    栄東中学の過去問題集は → こちら

  栄東中学の他の問題は → こちら

 

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