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2015年1月26日 (月)

数の性質 第95問 13の倍数 (大阪星光学院中学 受験問題 2015年(平成27年度) 算数)

問題 (大阪星光学院中学 受験問題 2015年 算数)
    難易度★★★★ 

 

(1)4ケタの整数 2□□5 で、13の倍数と
   なるのは何個ありますか。

(2)4ケタの整数で13の倍数となるもののうち、
   最も小さいものを答えなさい。

(3)6ケタの整数 2□01□5 で、13の倍数と
   なるものは何個ありますか。

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解答

 (1)2□□5 は、一の位が 5 なので、13の倍数のうち、
5の倍数でもある 65の倍数ということになります。

さらに、そのうち偶数のものは、一の位が 0 になってしまうので
除かなければなりません。

65の倍数のうち、2000台の数が何個あるか、というと、

 2000÷65=30あまり50
 3000÷65=46あまり10

です。2000台には、65の倍数の31番目から46番目がある
ということがわかります。

この中で、65の倍数のうち、一の位が 5 になるのは、
31番目、33番目、・・・、45番目の奇数番目で、8個あります。

 

 

 (2)1000÷13=76あまり12 なので、1000に、
あと1増やせば13の倍数になります。

よって、最も小さい4ケタの13の倍数は、1001です。

 

 

 (3) 2□01□5 が13の倍数になる場合を探すので、
下3ケタの 1□5 に注目すると、これが13の倍数になるのは、
65×3=195 のときです。

 

次に、最初の 2□0000 が 13の倍数になれば、195と
合わせて2□0195 が13の倍数になるので、
13×2=26 より、260195 が13の倍数とわかります。

 

(2)より、1001が13の倍数なので、
10倍した 10010 も13の倍数です。

したがって、
 260195 - 10010 = 250185
も13の倍数です。

同様に、
240175、230165、220155、210145、200135
が13の倍数です。

さらに、260195+10010=270205 も13の倍数で、
同様に、280215,290225 が13の倍数です。
しかし、この3個は百の位が2なので、2□01□5 の条件に
合いません。

 

ゆえに、2□01□5にあてはまるのは、

260196
250185
240175
230165
220155
210145
200135

7個になることがわかります。

 

 

 大阪星光学院中学の過去問題集は → こちら

 

 大阪星光学院中学の他の問題は → こちら

 

 

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コメント

さらに、260195+10010=270205 も13の倍数で、

同様に、280215,290225 が13の倍数です。

この部分は、問題の条件を無視していませんか?答えは7個だと思うのですが。

投稿: | 2018年12月23日 (日) 11時07分

解答をわかりやすく直しました。

また、ご指摘のように、個数の数え間違いをしておりましたので、訂正させていただきました。
 
またお気づきの点などございましたらコメントよろしくお願いいたします。

投稿: 桜組 | 2020年5月 8日 (金) 16時35分

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