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2015年1月23日 (金)

サイコロ 第8問 (麻布中学 入試問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (麻布中学 入試問題 2013年 算数) 

     難易度★★★★★★

 

8つの面がすべて合同な正三角形からなる図1のような立体

について考えます。それぞれの面には、図2のように 1から8

までの数字が書かれています。

     Pic_4134q

Pic_4135q

下の図3のように、この立体を面ABC が底面となるように

置きます。

 Pic_4136q

底面のいずれか1辺を軸として、となり合う面が底面となる

ようにこの立体を動かすことを「転がす」ということにします。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)図3の状態から1回目に辺AC を軸として転がし、続けて

   2回目に辺CD を軸として転がしました。その結果、最後に

   底面と重なる位置を、下の図4の三角形に色をつけて示し

   なさい。また、そのときの底面に書かれた数字を答えなさい。

 Pic_4137q

図3の状態から4回、自由に転がします。このとき、以下の

(2)、(3)、(4)に答えなさい。

 

(2)下の図5の【ア】は、最後に底面と重なる位置の1つです。

   【ア】以外の、最後に底面と重なる位置の三角形をすべて、

   太線で囲い示しなさい。また、【ア】の位置に最後に重なる

   底面に書かれた数字として考えられるものをすべて答え

   なさい。

 Pic_4138q

(3)4回自由に転がす転がし方は、全部で何通りありますか。

   ただし、最後の底面の位置が同じでも、途中の経路が違う

   場合は別の転がし方とします。

(4)最後に底面となる面に書かれた数字を、(3)のすべての

   転がし方について足し合わせたとき、その和を求めなさい。

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解答

 (1)まず、三角形ABC を辺AC を軸として転がすときに

底面となるのは、辺AC を共有するもう1つの三角形の

三角形ACD になります。さらに、辺CD を軸として 三角形

ACD を転がすときに底面となるのおは、辺CD を共有する

もう1つの三角形の三角形CDF になり、底面の数字は

です。底面の位置は、下の図6 のようになります。

 Pic_4139a

 

 (2)4回転がして底面と重なる三角形の位置は、下の図7の

ようになります。

 Pic_4140a

【ア】の位置にくる底面として考えられるものは、下の図8、図9

の2通りの場合があり、

 Pic_4141a

底面の数字は、三角形BEF の 、三角形ABC の です。

 

 

 (3)まず、図7の三角形のうち、最も外側の12か所について

行き方を考えると、下の図10の矢印のように、

 Pic_4142a

まん中の三角形の場所へは2通り、最も遠い場所へは1通り

の行き方があることがわかり、全部で18通り の行き方が

あります。

 

次に、内側の6か所の三角形について、行き方を考えると、

下の図11、図12、図13、図14の矢印の場合があり、

  Pic_4143a

  Pic_4144a_3

図11は、【ア】から【イ】へ 2回で移動し、【イ】の周辺の

三角形と【イ】を往復することで、4回で【イ】の位置へ移動する

方法で、3通り あります。

 

図12は、【ア】から【イ】へ右回りで4回かけて移動する方法で

1通り あります。

 

図13は、まず、【ア】と周辺の三角形を往復し、その後【イ】へ

移動する方法で、3通り あります。

 

図14のように移動する方法が1通り あります。

 

よって、【ア】から【イ】の場所への移動方法は、

 3+1+3+1=8通り

ということがわかります。

 

【イ】と同様な場所が6か所あるので、8×6=48通り の

行き方があることがわかります。

 

最後に、4回かけて【ア】の位置に移動する方法を考えると、

まず、下の図15の矢印のように、

  Pic_4145a_2

【イ】のような、【ア】から2回で行ける三角形を往復する方法

があり、これが 6通り あります。

 

次に、下の図16の矢印のように、

  Pic_4146a

まず、【ア】と【ウ】を往復し、次に、【ウ】、【エ】、【オ】の

どれかと往復すると、【ア】の位置に行き着きます。

最初に【ア】と【エ】を往復しても、【ア】と【オ】を往復しても

同様になるので、図15の方法では、3×3=9通り の

行き方があることになります。

 

よって、【ア】の位置への転がり方は、6+9=15通り です。

 

以上から、18+48+15=81通り の転がし方があることが

求められます。

 

 

【別解】

 下の図17のように、色のついた面を底面としたときに、

次に転がる先の候補は、矢印の先の3通りがあります。

     Pic_4147a

行き着いた先でも、次に転がる先の候補は、3通りで、

転がるたびに、次に転がる先の候補は3通りあります。

 

よって、4回転がす転がし方は、3×3×3×3=81通り

と求められます。

 

 

 (4)それぞれの面を底面としたときに転がすと、

どのような先に行き着くかを、下の図18に示しました。

4回目は奇数になるので、3回目の面が偶数の2,4,6,8の

とき、4回目に底面になる面の数の和を合わせて書いてあります。

 Pic_4148a

最初、底面の数は面ABC の1なので、1回目に底面になるのは

2,4,6 です。1回目に底面が2のとき、2回目に底面になるのは

1,3,5 になります。2回目に底面が1のとき、3回目に底面に

なるのは、2,4,6 で、3回目に底面が2のとき、4回目に底面に

なるのは、1+3+5=9 と計算できます。

 

樹形図のように、サイコロの面を追うと、下の図19のように

なります。4回目の数は、底面になり得る数の和です。

 Pic_4149a

これらの数を合計すると、

  33×3+35×2+37×2+39×2

= 99+(35+37+39)×2

= 99+222

321

と求められます。

 

 

 麻布中学の過去問題集は → こちら

 麻布中学の他の問題は → こちら

 

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