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2014年12月12日 (金)

文章題 第96問 仕事算 (聖光学院中学 受験問題 2014年(平成26年度) 算数)

 

問題 (聖光学院中学 受験問題 2014年 算数) 

     難易度★★★★

 

聖さん、光さんが2つの仕事A,Bに取り組みます。

聖さんだけで仕事A を終わらせるには60分、仕事B を

終わらせるには80分かかり、光さんだけで仕事A を

終わらせるには100分、仕事B を終わらせるには120分

かかります。いま、以下の規則に従って、聖さん、光さんが

2つの仕事A,Bに同時に取り組み始めました。

 

 規則1 1つの仕事に2人で同時に取り組むことはできない。

 規則2 仕事が2つとも残っているときには、2人ともどちらか

      に取り組む

 規則3 仕事が1つだけ残っているときには、2人のうち

      どちらかが取り組む

 規則4 仕事の途中で聖さんと光さんは入れかわることが

      できる

 

このとき、次の問に答えなさい。ただし、入れかわるのにかかる

時間は考えないものとします。

 

(1)仕事A を終わらせるのにかかった時間が70分だったと

   すると、聖さんが仕事A に取り組んだ時間は何分ですか。

   また、2人が仕事を始めてから仕事B を終わらせるまで

   にかかった時間は何分以上何分何秒以下ですか。

(2)仕事A,Bを同時に終わらせたとすると、聖さんが仕事A

   に取り組んでいた時間は何分ですか。また、仕事が終わった

   のは、2人が同時に仕事を始めてから何分何秒後ですか。

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解答

 (1)仕事A を聖さんは、1分で 1/60、光さんは1分で1/100

終わらせます。2人で70分かかって終わらせたので、下の図1

を用いて、つるかめ算で求めることができます。

  Pic_4118a

70分、光さんが仕事A をすると、

  1/100 × 70 = 7/10

が終わり、3/10 が足りないので、

  1/60 - 1/100 = 1/150

より、聖さんが仕事A に

  3/10 ÷ 1/150 = 45分

取り組めばよいことがわかります。

 

次に、仕事B を聖さんは1分で1/80、光さんは1分で1/120

終わらせるので、仕事A が終わった時点で、仕事B は

聖さんが25分、光さんが45分取り組んで、

 1/80 × 25 + 1/120 × 45 = 165/240 = 11/16

が終わっています。残りは、5/16 です。

 

最も早く終わるのは、聖さん1人が取り組んだときで、

 5/16÷1/80=25分

最も遅く終わるのは、光さん1人が取り組んだときで、

 5/16÷1/120=37.5分=37分30秒

かかるので、仕事B を終わらせるのにかかった時間は、

 95分以上107分30秒以下

です。

 

 (2)聖さんが仕事A に取り組むとき、光さんが仕事B に

取り組んでいて、1分間に 聖さんは仕事A を 1/60ずつ、

光さんは仕事B を 1/120 ずつ 終わらせます。ということは

仕事A と仕事B が終わる速さは、1/60 : 1/120 = 2 : 1

で、聖さんと光さんが入れかわる時点で、下の図2のように

仕事が進んでいます。

          Pic_4119a

聖さんが仕事B に取り組むと、光さんが仕事B に

取り組んでいて、1分間に 聖さんは仕事B を 1/80ずつ、

光さんは仕事A を 1/100 ずつ 終わらせます。

仕事A と仕事B が終わっていく速さは、

 1/100 : 1/80 = 4 : 5

なので、A,B同時に終わるとき、下の図2のようになります。

  Pic_4120a

(たまたま)2つの和が 6 になるので、 聖さんは仕事A の

2/6=1/3 を終わらせたので、聖さんが仕事A に取り組んだ

時間は、

  1/3÷1/60=20分

と求められ、光さんは仕事A の 4/6=2/3 を終わらせたので、

光さんが仕事A に取り組んだ時間は、

  2/3÷1/100=200/3分=66と2/3分=66分40秒

と求められるので、仕事A,B が同時に終わったのは、

  20分+66分40秒=86分40秒後

です。

 

 

 聖光学院中学の過去問題集は → こちら

 聖光学院中学の他の問題は → こちら

 

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