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2014年12月22日 (月)

数の性質 第94問 (巣鴨中学 受験問題 2014年(平成26年度) 算数)

 

問題 (巣鴨中学 受験問題 2014年 算数) 難易度★★★

 

1から13の数字が1つずつ書かれたカードが13枚あります。

このカードを引いて、次のような規則で ①から④を行い、

点数をつけました。ただし、一度引いたカードは元には

戻しません。このとき、次の問に答えなさい。

 

① 最初に1枚を引き、その数字を確認する。

② ①で引いたカードの数字の約数の個数を数える。

③ ②の個数の数だけ、続けてカードを引く。

④ ①、③で引いた全てのカードに書かれた数字の合計を

   点数とする。

 

たとえば、最初に引いたカードに書かれた数字が 5 であれば

5の約数の個数は2個だから、続けて2枚のカードを引きます。

その2枚のカードに書かれた数字が 3 と 8 であれば、点数は

5+3+8=16 で、16点となります。

 

(1)もし、最初に引いたカードの数字が 10 だとしたら、

   考えられる最も低い点数を答えなさい。

(2)この規則で考えられる最も高い点数を答えなさい。

(3)カードを引き終わったとき、残ったカードは 9枚で、点数は

   43点でした。このとき引いた 4枚のカードを全て答えなさい。

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解答

 (1)10の約数は、1,2,5,10 の4個なので、4枚のカードを

引くことが出来ます。このとき、点数が最も低くなるのは、

1,2,3,4 の4枚を引いたときで、点数は

 1+2+3+4+10=20点

です。

 

 (2)引くカードの数が多い(約数が多い)方が、点数は増え、

1から13までの数のうち、約数が最も多い数は、12 です。

12の約数は、1,2,3,4,6,12 の6個で、点数が最も

高くなるカードの引き方は、13,11,10,9,8,7 の6枚を

引いたときで、

 7+8+9+10+11+12+13=70点

です。

 

 (3)点数が4枚のカードの合計になるということは、

最初に引いたカードの約数の個数は 3個ということです。

 

1から13 のうち、約数の個数が 3個なのは、

4(1,2,4)と 9(1,3,9) です。

 

最初に引いたカードが4のとき、残りの3枚の数の合計は

43-4=39 ですが、最大のカードが 13 なので、3枚の

数の合計を39にすることはできません。(最大で、13+12+11)

 

最初に引いたカードが9のとき、残りの3枚の数の合計は

43-9=34 です。

 13+12+9=34 ← 9 は最初に引いているので×

 13+11+10=34

 12+11+11=34 ← 11が2回登場しているので×

 12+10+12=34 ← 12が2回登場しているので×

以上より、4枚のカードは、9,10,11,13 です。

 

 

 巣鴨中学の過去問題集は → こちら

 巣鴨中学の他の問題は → こちら

 

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