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2014年12月29日 (月)

場合の数 第84問 (灘中学 入試問題 2011年(平成23年度) 算数)

 

問題 (灘中学 入試問題 2011年 算数) 難易度★★★★

 

5個の整数に対して次の①、②をこの順に行うことを

1つの操作A とします。

 ① サイコロを1回投げ、出た目の数を5個の整数に

    それぞれかけます。

 ② ①で得られた5個の整数をそれぞれ 6で割って

    余りを求め、5個の整数それぞれをその余りに

    置きかえます。ただし、割り切れるときは、余りは

    0とします。

5個の整数が、はじめは 1,2,3,4,5 であるとき、操作A

を3回くり返して行ったあとにできる5個の整数が何種類に

なるか考え、この種類の数を X とします。たとえば、1回目の

操作A で 3の目が、2回目の操作A で 5の目が、3回目の

操作A で 4の目が出たとき、5個の整数は、

   (1,2,3,4,5)→(3,0,3,0,3)→(3,0,3,0,3)

 →(0,0,0,0,0)

というようになり、X=1 となります。サイコロの目の出る順序も

区別するものとして、次の問に答えなさい。

 

(1)X=5 であるようなサイコロの目の出方は何通りありますか。

(2)X=3 であるようなサイコロの目の出方は何通りありますか。

(3)X=1 であるようなサイコロの目の出方は何通りありますか。

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解答

 (1)1,2,3,4,5 の数に、操作A を行ったときの結果は、

サイコロが1の目のとき

 (1,2,3,4,5) → (1,2,3,4,5)

サイコロが2の目のとき

 (2,4,6,8,10) → (2,4,0,2,4)

サイコロが3の目のとき

 (3,6,9,12,15) → (3,0,3,0,3)

サイコロが4の目のとき

 (4,8,12,16,20) → (4,2,0,4,2)

サイコロが5の目のとき

 (5,10,15,20,25) → (5,4,3,2,1)

サイコロが6の目のとき

 (6,12,18,24,30) → (0,0,0,0,0)

にそれぞれなります。

 

サイコロの目が 2,3,4,6の場合は、同じ数になるものが

できてしまい、5種類に残らないので、 X=5 になるには

サイコロの目は、1か5 だけで構成されなければいけません。

 

よって、X=5となる 3回のサイコロの目の出方は、

 (1,1,1)、(1,1,5)、(1,5,1)、(1,5,5)

 (5,1,1)、(5,1,5)、(5,5,1)、(5,5,5)

の、2×2×2=8通り です。

 

 (2)3の目と 6の目が出ると、2種類以下になるので、

途中で 3,6の目は出てはいけません。

 

(1)より、サイコロの 2の目と 4の目が出ると、

(0,2,4)の3種類になります。この3種類に

操作A をすると、どうなるかを考えると、

サイコロが1の目のとき

 (0,2,4) → (0,2,4)

サイコロが2の目のとき

 (0,4,8) → (0,4,2)

サイコロが3の目のとき

 (0,6,12) → (0,0,0)

サイコロが4の目のとき

 (0,8,16) → (0,2,4)

サイコロが5の目のとき

 (0,10,20) → (0,4,2)

サイコロが6の目のとき

 (0,12,24) → (0,0,0)

となります。

 

以上より、X=3 となる場合は、

 【1】1回目、2回目は1か5、3回目に2か4

 【2】1回目は1か5、2回目に2か4、3回目に1,2,4,5

 【3】1回目は2か4、2回目、3回目は1,2,4,5

の3通りの場合が考えられ、

 【1】のとき、2×2×2=8通り

 【2】のとき、2×2×4=16通り

 【3】のとき、2×4×4=32通り

あるので、X=3 となるサイコロの目の出方は、

 8+16+32=56通り

です。

 

 (3)サイコロが3の目がでたときの(0,3)については、

サイコロの目が1,3,5の場合、操作Aを行うと、(0,3)のまま、

サイコロの目が2,4,6の場合、操作Aを行うと、(0,0)

となります。

 

よって、X=1 となるのは、すべてのサイコロの目の出方から

X=2,3,5 の場合の数を除けばよいので、X=2 となる

場合の数を求めると、

 【1】1回目、2回目は 1か5、3回目は 3

 【2】1回目は1か5、2回目は3、3回目は1,3,5

 【3】1回目は3、2回目、3回目は1,3,5

の3通りあって、

 【1】のとき、2×2×1=4通り

 【2】のとき、2×1×3=6通り

 【3】のとき、1×3×3=9通り

あるので、X=2 となるサイコロの目の出方は、

 4+6+9=19通り

あります。

 

ゆえに、X=1 となるサイコロの目の出方は、

 6×6×6-(8+56+19)=133通り

と求められます。

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 灘中学の他の問題は → こちら

 

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