規則性の問題 操作 第３６問 （豊島岡女子学園中学 受験問題 2014年（平成26年度） 算数）

問題　（豊島岡女子学園中学　受験問題　2014年　算数）

　　　　 難易度★★★

ある機械 Ｘ があります。この機械 Ｘ は、整数が書かれたカード

を入れると、

　【カードに書かれた整数を５で割り、商と余りを加える】

という計算をして、その計算の答えが書かれたカードを出します。

ただし、機械 Ｘ は、商も余りも整数で計算をして、割り切れるとき

は余りを ０ として計算します。この機械 Ｘ にカードを入れ、出て

きたカードに書かれた整数が ５ より小さくなるまで、出てきた

カードをさらに機械 Ｘ に入れるという作業を行います。

たとえば、【１２１】と書かれたカードを機械 Ｘ に入れると、【２５】

と書かれたカードが出てきます。２５ は ５ より大きいので、その

出てきたカードをさらに機械 Ｘ に入れると、【５】と書かれたカード

が出てきます。５ は ５ と等しいので、その出てきたカードをもう

一度機械 Ｘ に入れると、【１】と書かれたカードが出てきます。

１ は ５ より小さいので、ここで作業が終了します。したがって、

最初のカードに書かれた整数が【１２１】のとき、作業を終了する

までに機械 Ｘ に ３回カードを入れることになります。このとき、

次の問に答えなさい。

（１）最初のカードに書かれた整数が【２７７】のとき、作業を終了

　　 するまでに機械 Ｘ に何回カードを入れることになりますか。

（２）最初のカードに書かれた整数が 【　ア　】のとき、２回目に

　　 カードを入れたところ、【４】のカードが出てきて作業が終了

　　 します。このとき、【　ア　】に当てはまる整数として考えられる

　　 数は、全部で何個ありますか。

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解答

　（１）実際に計算すると、

１回目　：　２７７÷５＝５５あまり２　→　５５＋２＝５７

２回目　：　５７÷５＝１１あまり２　→　１１＋２＝１３

３回目　：　１３÷５＝２あまり３　→　２＋３＝５

４回目　：　５÷５＝１

となり、４回とわかります。

　（２）どのような作業になったかというと、

１回目　：　【　ア　】÷５＝○あまり△　→　○＋△

２回目　：　（○＋△）÷５＝□あまり☆　→　□＋☆＝４

ということです。

□＋☆＝４ となる、（□、☆）の組は、

　（１，３）、（２，２）、（３，１）、（４，０）

が考えられ、それぞれの場合の ○＋△ は、

　（１，３）　→　５×１＋３＝８

　（２，２）　→　５×２＋２＝１２

　（３，１）　→　５×３＋１＝１６

　（４，０）　→　５×４＝２０

となります。

○＋△＝８　の場合、（○、△）として考えられる組は、

５で割った余りは、０，１，２，３，４ の５通りしかないので、

　（４，４）、（５，３）、（６，２）、（７，１）、（８，０）

の５組があり、それぞれの場合の【　ア　】は、

　２４，２８，３２，３６，４０

になります。

○＋△＝１２　の場合、（○、△）として考えられる組は、

　（８，４）、（９，３）、（１０，２）、（１１，１）、（１２，０）

の５組があり、それぞれの場合の【　ア　】は、

　４４，４８，５２，５６，６０

になります。これは、○＋△＝８の場合と○＋△＝１２の場合で

【　ア　】が同じ数にはならないことを示しており、

○＋△＝１６，２０ の場合も５通りで、【　ア　】に当てはまる整数

として考えられる数は、５×４＝２０個 です。

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