数の性質 第９３問 ３の倍数 （本郷中学 入試問題 2014年（平成26年度） 算数）

問題　（本郷中学　入試問題　2014年　算数）　難易度★★★

2014年1月1日を 20140101 という８ケタの整数で表す

ことにします。したがって、2014年9月26日は 20140926

で、2014年11月14日は 20141114 となります。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）2014年２月の日付を用いて作った整数のうち、

　　 ３の倍数は何個ありますか。

（２）2014年２月、５月、８月、１１月の日付を用いて作った

　　 整数のうち、３の倍数は合わせて何個ありますか。

（３）2014年１月から１２月までの日付を用いて作った

　　 整数のうち、３の倍数は合わせて何個ありますか。

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解答

　（１）2014年２月の日付を用いて作れる整数は、

20140201 ～ 20140228 までの２８個です。

３の倍数の判別は、全てのケタの数を足したときに

３で割り切れるかどうかで分かるので、

　20140201　→　２＋１＋４＋２＋１＝１０　→　３で割ると１余る

とわかります。

よって、20140201 ～ 20140228 までの場合、下２ケタを見れば

３の倍数かわかり、３，６，９，１２，・・・，２７ のときの ９個 です。

　（２）５月は、20140501 ～ 20140531　

８月は、20140801 ～ 20140831

１１月は、20141101 ～ 20141130

で、

　20140501　→　３で割ると１余る　→　１０個

　20140801　→　３で割ると１余る　→　１０個

　20141101　→　３で割ると１余る　→　１０個

なので、２月、５月、８月、１１月の日付を用いて作った整数

のうち、３の倍数になるのは、９＋１０＋１０＋１０＝３９個 です。

　（３）（２）までの手順で、３で割り切れる月は、

20140101　→　３で割り切れる　→　１，４，７，・・・，３１の１１個

20140401　→　３で割り切れる　→　１０個　（４月は３０日まで）

20140701　→　３で割り切れる　→　１１個

20141001　→　３で割り切れる　→　１１個

３で割ると２余る月は、

20140301　→　３で割ると２余る　→　２，５，８，・・・，２９の１０個

20140601　→　３で割ると２余る　→　１０個

20140901　→　３で割ると２余る　→　１０個

20141201　→　３で割ると２余る　→　１０個

で、以上を合計すると、

　３９＋４３＋４０＝１２２個

が ３の倍数です。

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