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2014年11月 6日 (木)

場合の数 第81問 (神奈川大学附属中学 受験問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (神奈川大学附属中学 受験問題 2013年 算数)

     難易度★★★☆

 

A君とB君がアメをそれぞれ10個ずつ持っています。2人は

ジャンケンをして、グーで勝つとアメを4個、チョキで勝つと

アメを3個、パーで勝つとアメを2個相手からもらうゲームを

します。どちらかのアメの個数がもう一人のアメの個数の

3倍以上になった時点で、アメを多く持っている方を勝者と

してゲームは終了します。ただし、ゲーム中に、あいこは

一度もないものとして、次の問に答えなさい。

 

(1)2回目のゲームでA君が勝者として終了するとき、

   2人の手の出し方は全部で何通りありますか。

(2)3回目のゲームで終了するとき、2人の手の出し方は

   何通りありますか。

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解答

 (1)アメの数は、2人合わせて20個なので、ゲームが終了

するのは、勝者が15個以上のアメを獲得したときです。

 

2回目のゲームでA君が勝利するには、A君は2連勝するしか

ありません。

 

A君の手の出し方は、1回目:(グー、チョキ、パー)、2回目:

(グー、チョキ、パー)の 3×3=9通り ありますが、

1回目も2回目もパーで勝ったときだけ、15点に届かないので

2人の手の出し方は、9-1=8通り あります。

 

 (2)3回目でゲームが終了するので、2回目で終了しては

いけません。

 

A君の勝利でゲームが終了するものとして考えると、

3連勝で3回目にゲームが終了するのは、2回目までパーを

出し、3回目は、グー、チョキ、パーのどれでもよいので、

3通りです。

 

2勝1敗で終わるとき、

最後にパー(+2)で勝つ場合、最もアメの個数が多くなるのは

  グーで勝つ(+4)、パーで負け(-2) → +2

で、アメは14個が最高なので、勝負がつきません。

 

最後にチョキ(+3)で勝つ場合

 グーで勝つ(+4)、パーで負け(-2) → +2

の場合のみ、勝敗がつき、手の出し方は、

 (グー勝、パー負、チョキ勝)、(パー負、グー勝、チョキ勝)

の2通りです。

 

最後にグー(+4)で勝つ場合

 グーで勝つ(+4)、パーで負け(-2) → +2

 グーで勝つ(+4)、チョキで負け(-3) → +1

 チョキ勝つ(+3)、パーで負け(-2) → +1

の場合で勝敗がつき、手の出し方は、2×3=6通り です。

 

1勝2敗でA君が勝利することはありません。

 

よって、A君の勝利で3回目でゲームが終了するのは

3+2+6=11通り あります。

 

B君の勝利で3回目でゲームが終了する場合も、同様に

11通り あるので、3回目でゲームが終了する場合の

2人の手の出し方は、11×2=22通り です。

 

 

 

 神奈川大学附属中学の他の問題は → こちら

 

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