« 平均 第25問 (中央大学附属横浜中学 受験問題 2014年(平成26年度) 算数) | トップページ | 規則性の問題 操作 第35問 (芝中学 受験問題 2014年(平成26年度) 算数) »

2014年10月 3日 (金)

数の性質 第92問 (栄光学園中学 入試問題 2014年(平成26年度) 算数)

 

問題 (栄光学園中学 入試問題 2014年 算数) 

     難易度★★★★

 Pic_4033q

上の図のような時計があります。左側は時刻を示し、時には

0~11、分には 0~59、秒には 0~59 の整数が表示される

ものとします。右側は【時×分×秒】の計算結果になっています。

例えば、上の図のように 5時8分50秒 の場合は、5×8×50

の計算結果である 2000 が右側の四角の中に表示されます。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)右側の四角の中に表示される整数のうち、最大の数と

   3番目に大きい数をそれぞれ答えなさい。

(2)右側の四角の中に表示されることのない整数を小さい順に

   3つ答えなさい。

(3)右側の四角の中が 777 になる時刻をすべて答えなさい。

(4)右側の四角の中に 4225 は表示されることはありません。

   その理由を答えなさい。

(5)ある時刻に右側の四角の中の数を見て、その10分後と

   1時間後にも再び見ました。10分後と1時間後の数は等しく、

   初めに見た数より 390増えていました。ある時刻として

   考えられるものをすべて答えなさい。

----------------------------------------------

----------------------------------------------

解答

 (1)最大となるのは、11時59分59秒のときで、

      11×59×59=38291  ・・・ 【★】

です。

 

2番目に大きくなるのは、10時59分59秒 と 11時59分58秒 の

どちらでしょうか。右側に表示される数は、

 10×59×59  と  11×59×58

で、最大のときの【★】と比べると、それぞれ 10/11倍、58/59倍

になります。

 

10/11倍 と 58/59倍 で、どちらが大きいかという問題になって

きますが、分母と分子の差が1のとき、数が大きいとどうなるか

調べると、たとえば 9/10倍 と 999/1000倍 で比べれば

999/1000倍の方が大きくなる (より1に近い) ということから、

58/59倍 の方が大きいです。

 

3番目に大きい数は、11時58分58秒 か 11時59分57秒

なのかになりますが、

 2番目に大きい数は、 11×58×59 ・・・ 【☆】 で、

 11×58×58 → 【☆】の 58/59倍 ・・・ 【◆】

 11×59×57 → 【☆】の 57/58倍 ・・・ 【◇】

なので、2番目に大きい数を調べたときと同じ考え方で、

58/59倍 と 57/58倍 では、58/59倍の方が大きい

ことがわかり、【◆】の方が大きく、3番目に大きい数は、

 11×58×58=37004

となります。なお、10時59分59秒 の 10×59×59 は

【★】の計算(11×59×59)を利用して 37004 より小さく

なることがわかります。

 

 

 (2)1時1分■秒 の表示で、1~59 の整数は表示される

ことはわかりますので、60以降について考えます。

 60 → 2×30 なので、1時2分30秒

 61 → かけ算を作れないので、表示できない

 62 → 2×31 なので、1時2分31秒

 63 → 3×21 なので、1時3分21秒

 64 → 4×16 、65 → 5×13、66=2×33

 67 → かけ算を作れないので、表示できない

 偶数 → 2×□ となるので、奇数について考えます。

 69 → 3×23

 71 → かけ算を作れないので、表示できない

以上より、表示されない整数は小さい方から 61,67,71 です。

 

 

 (3)777=7×111=7×3×37 です。

よって、

 1時21分37秒、1時37分21秒、3時7分37秒、

 3時37分7秒、7時3分37秒、7時37分7秒

の 6回があります。

 

 

 (4)4225=5×845=5×5×169=5×5×13×13 です。

 

4225=5×5×13×13 ですが、2個ある 13 は、時のところ

には入れず、13×5=65、13×13=169で、共に 59 より

大きいので、分と秒のところに別々に単独である必要があり、

その際、時のところが 5×5=25 になってしまうため、表示

されることはありません。

 

 

 (5)ある時刻を ○ : △ : □ (○時△分□秒) として、

10分後には、  ○ : ▲ : □ (○時▲分□秒) となり、

1時間後には   ● : △ : □ (●時△分□秒) となる。

と考えると、表示される数は、

 ある時刻 → ○×△×□

 10分後  → ○×▲×□

 1時間後 → ●×△×□

の計算結果で、10分後と1時間後は等しいということから、

○×△×□ の ▲/△倍 と ●/○倍 が等しいということで、

すなわち、▲/△=●/○ (約分すると等しい)ということです。

 

△と▲の差が10ということを考え、1時から順に調べると、

2/1=20/10 、 3/2=30/20 、 4/3=40/30 、

5/4=50/40 、 6/5=60/50→分子(▲)が59を超える。

よって、

 1時10分□秒 → 1時20分□秒 または 2時10分□秒

 2時20分□秒 → 2時30分□秒 または 3時20分□秒

 3時30分□秒 → 3時40分□秒 または 4時30分□秒

 4時40分□秒 → 4時50分□秒 または 5時40分□秒

の4つが考えられます。この4つにおいて、左側と右側の時刻で

表示される数が 390増えるということから、□秒については、

1時10分□秒 → 10×□ 1時20分□秒 → 20×□

 より、□=39

2時20分□秒 → 40×□ 2時30分□秒 → 60×□

 より、□=19.5 → 整数ではないので、不適

3時30分□秒 → 90×□ 3時40分□秒 → 120×□

 より、□=13

4時40分□秒 → 160×□ 4時50分□秒 → 200×□

 より、□=9.75 → 整数ではないので、不適

となるので、考えられる時刻は

 1時10分39秒3時30分13秒

の2つです。

 

 

 栄光学園中学の過去問題集は → こちら

 栄光学園中学の他の問題は → こちら

 

|

« 平均 第25問 (中央大学附属横浜中学 受験問題 2014年(平成26年度) 算数) | トップページ | 規則性の問題 操作 第35問 (芝中学 受験問題 2014年(平成26年度) 算数) »

コメント

私は(5)を違う方法で解きました。

時分秒を順に○△□とすると
○×△×□=A…(1)

一時間後の数値は
(○+1)×△×□=A+390…(2)

10分後の数値は二通りあり
○×(△+10)×□=A+390…(3)
(○+1)×(△-50)×□=A+390…(4)

(2)と(4)の式が同じ計算結果にならないのは明らかなので10分後の数値は(3)だけを考える。

(1)(2)から △×□=390…(5)
(1)(3)から ○×□=39…(6)

○は11以下の整数なので(6)より○と□の組み合わせは(1,39)(3,13)
その結果と(5)をあわせて考えると、○と△と□の組み合わせは(1,39,10)(3,13,30)

よって答えは
1時39分10秒と3時13分30秒。

投稿: | 2014年10月 4日 (土) 11時56分

訂正

その結果と(5)をあわせて考えると、○と△と□の組み合わせは(1,10,39)(3,30,10)なので

答えは
1時10分39秒と3時30分13秒。

△と□を取り違えてしまいました(笑)

投稿: | 2014年10月 4日 (土) 11時59分

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック

この記事のトラックバックURL:
http://app.f.cocolog-nifty.com/t/trackback/1219713/57558106

この記事へのトラックバック一覧です: 数の性質 第92問 (栄光学園中学 入試問題 2014年(平成26年度) 算数):

« 平均 第25問 (中央大学附属横浜中学 受験問題 2014年(平成26年度) 算数) | トップページ | 規則性の問題 操作 第35問 (芝中学 受験問題 2014年(平成26年度) 算数) »