立体図形の切り口 第６４問 （駒場東邦中学 受験問題 2014年（平成26年度） 算数）

問題　（駒場東邦中学　受験問題　2014年　算数）　

　　　　 難易度★★★★

下の図のような １辺の長さが ２ｃｍ の立方体をいくつかの

平面で切って作られる立体について考えます。

　　　　　

この立方体を３点Ａ，Ｃ，Ｆ を通る平面と、３点Ａ，Ｃ，Ｈ を

通る平面で切って、面ＥＦＧＨ を含む方を１つ目の立体

とします。２つ目の立体は、この立方体を３点Ａ，Ｃ，Ｆ を

通る平面、３点Ａ，Ｃ，Ｈを通る平面、３点Ｂ，Ｄ，Ｅ を通る

平面と３点Ｂ，Ｄ，Ｇ を通る平面で切って、面ＥＦＧＨ を含む

方の立体とします。角すいの体積は、底面積×高さ÷３ で

求められるものとして、次の問に答えなさい。

（１）１つ目の立体の体積を求めなさい。

（２）２つ目の立体の面は、どのような図形がいくつあるか

　　 答えなさい。たとえば、１つ目の立体は展開図が下の図２

　　 のようになるので、

　　【正方形１つ、正三角形２つ、直角二等辺三角形４つ】

　　 となります。

　　　

（３）１つ目の立体の表面積から、２つ目の立体の表面積を

　　 引いた値を求めなさい。

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解答

　（１）切り取った２つの三角すいの体積の合計は、

　（２×２÷２×２÷３）×２個＝８/３（ｃ㎥）

なので、１つ目の立体の体積は、

　２×２×２－８/３＝１６/３＝５と１/３（ｃ㎥）

です。

　（２）まず、１つ目の立体をＢ，Ｄ，Ｅ を通る平面で切ると、

下の図３のようになります。ＡＣ とＢＤの交点をＰ，ＡＦとＢＥ の

交点をＱ，ＡＨとＤＥ の交点をＲ としています。

　　　

次に、さらに ３点Ｂ，Ｄ，Ｇ を通る平面で切ると、下の図４の

ようになります。ＢＧ とＣＦの交点をＳ，ＣＨとＤＧ の交点をＴ と

しています。

　　

図４の青い部分は、切り取られて、なくなる部分です。

さらに、２つ目の立体には、切り口ＰＱＥＲ，ＰＳＧＴ ができ、

下の図５のように、切り口は

　　

正三角形 の各辺のまん中の点を結んだ形になるので、

ひし形となります。

よって、２つ目の立体の面は、

　正方形が１つ （面ＥＦＧＨ）

　直角二等辺三角形が４つ （ＥＦＱ，ＥＨＲ，ＦＧＳ，ＧＨＴ）

　ひし形が４つ （ＦＳＰＱ，ＨＲＰＴ，ＰＱＥＲ，ＰＳＧＴ）

で構成されていることになります。

　（３）図５のひし形ＰＱＥＲ の面積は、三角形ＢＰＱ と三角形ＤＰＲ

を合わせた面積と等しくなっています。もう１つのひし形ＰＳＧＴ も

同様になっており、下の図６の黄色い部分と等しくなっています。

　　

１つ目の立体の表面積と、２つ目の立体の表面積を比べると

差し引きで、図６の青い部分の面積が減っていて、

青い三角形４個の面積の合計は、正方形ＥＦＧＨ と等しく、

　２×２＝４ｃ㎡

です。　

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