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2014年9月26日 (金)

立体図形の切り口 第64問 (駒場東邦中学 受験問題 2014年(平成26年度) 算数)

 

問題 (駒場東邦中学 受験問題 2014年 算数) 

     難易度★★★★

 

下の図のような 1辺の長さが 2cm の立方体をいくつかの

平面で切って作られる立体について考えます。

     Pic_4022q

この立方体を3点A,C,F を通る平面と、3点A,C,H を

通る平面で切って、面EFGH を含む方を1つ目の立体

とします。2つ目の立体は、この立方体を3点A,C,F を

通る平面、3点A,C,Hを通る平面、3点B,D,E を通る

平面と3点B,D,G を通る平面で切って、面EFGH を含む

方の立体とします。角すいの体積は、底面積×高さ÷3 で

求められるものとして、次の問に答えなさい。

 

(1)1つ目の立体の体積を求めなさい。

(2)2つ目の立体の面は、どのような図形がいくつあるか

   答えなさい。たとえば、1つ目の立体は展開図が下の図2

   のようになるので、

  【正方形1つ、正三角形2つ、直角二等辺三角形4つ】

   となります。

   Pic_4023q

(3)1つ目の立体の表面積から、2つ目の立体の表面積を

   引いた値を求めなさい。

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解答

 (1)切り取った2つの三角すいの体積の合計は、

 (2×2÷2×2÷3)×2個=8/3(c㎥)

なので、1つ目の立体の体積は、

 2×2×2-8/3=16/3=5と1/3(c㎥)

です。

 

 (2)まず、1つ目の立体をB,D,E を通る平面で切ると、

下の図3のようになります。AC とBDの交点をP,AFとBE の

交点をQ,AHとDE の交点をR としています。

   Pic_4024a

次に、さらに 3点B,D,G を通る平面で切ると、下の図4の

ようになります。BG とCFの交点をS,CHとDG の交点をT と

しています。

  Pic_4025a

図4の青い部分は、切り取られて、なくなる部分です。

さらに、2つ目の立体には、切り口PQER,PSGT ができ、

下の図5のように、切り口は

  Pic_4026a

正三角形 の各辺のまん中の点を結んだ形になるので、

ひし形となります。

 

よって、2つ目の立体の面は、

 正方形が1つ (面EFGH)

 直角二等辺三角形が4つ (EFQ,EHR,FGS,GHT)

 ひし形が4つ (FSPQ,HRPT,PQER,PSGT)

で構成されていることになります。

 

 (3)図5のひし形PQER の面積は、三角形BPQ と三角形DPR

を合わせた面積と等しくなっています。もう1つのひし形PSGT も

同様になっており、下の図6の黄色い部分と等しくなっています。

  Pic_4027a

1つ目の立体の表面積と、2つ目の立体の表面積を比べると

差し引きで、図6の青い部分の面積が減っていて、

青い三角形4個の面積の合計は、正方形EFGH と等しく、

 2×2=4c㎡

です。 

 

 

 駒場東邦中学の過去問題集は → こちら

 駒場東邦中学の他の問題は → こちら

 

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