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2014年9月12日 (金)

平面図形の角度 第93問 (海城中学 入試問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (海城中学 入試問題 2013年 算数) 難易度★★★☆

 

平面上の点Pの位置を、点Oからの距離OP と角XOP の大きさ

で表すことにします。ただし、角XOP の大きさは反時計回りに X

から測ることとし、角XOP の大きさは0°以上360°未満と

します。たとえば、点Oからの距離が5cm、角XOP の大きさが

45°の点P は下の図1のような位置になります。そして、この

ときの点P の位置をP(5cm、45°)と表すことにします。従って、

点Q,点R の位置がQ(6cm、310°)、R(4cm、180°) と

表されていれば、2点Q,R はそれぞれ下の図2、図3のような

位置になります。

     Pic_4004q

いま、点A,B,C の位置をA(4cm、0°)、B(4cm、120°)、

C(4cm、280°)とするとき、次の問に答えなさい。

 

(1)角ABC の大きさを答えなさい。

(2)点D の位置をD(4cm、【ア】°)とします。三角形ABC と

   三角形ADC の面積が等しいとき、【ア】に当てはまる数を

   答えなさい。

(3)三角形ABE が正三角形となるような点E の位置をすべて

   点P と同じ表し方で答えなさい。

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解答

 (1)3点A,B,C は下の図4のように並んでいて、

    Pic_4005a

OA=OB=OC なので、三角形OAB,OBC,OCA は

二等辺三角形です。

 

角AOB=120°なので、角OBA=30°

角BOC=160°なので、角OBC=10°

とわかるので、角ABC=30+10=40°です。

 

 (2)三角形ABC と三角形ADC の面積が等しいのは、

下の図5のように、点Bを通り AC と平行な線と、点Oを

中心とする半径4cmの円の交点に点D があるときです。

(底辺をAC とすると、三角形ABC,ADCの高さが等しくなるので

2つの三角形の面積が等しくなります)

    Pic_4006a_3

角OBC=角OCB=10°、角OCA=50°で、AC とBD が

平行なので、錯角で 角ACB=角CBD=60° とわかり、

角OBD=60+10=70°なので、下の図6のように、

 Pic_4007a

三角形OBD は頂角BOD=40°の二等辺三角形とわかります。

 

よって、角AOD=120+40=160°・・・【ア】 です。

 

 (3)点E は、下の図7のように、E1,E2 の2個考えられます。

    Pic_4008a

まず、点E1から考えると、下の図8のように点Oと点E1を結ぶと、

    Pic_4009a

三角形ABE1が正三角形なので、

三角形OBE1と三角形OAE1は 3辺が等しく、合同です。

角AOB=120°なので、角AOE1=角BOE1=60°となり、

角OAE1=90°より、三角形OAE1は、30°60°90°の

直角三角形とわかります。

 

よって、この直角三角形は、OA=4cm なので、OE1=8cm

とわかります。

 

次に、点E2について考えると、三角形ABE2 が正三角形で、

角OAB=角OBA=30°なので、下の図9のように

    Pic_4010a

角OAE2=角OBE2=30°で、三角形OAB と三角形OAE2は

OA共通、AB=AE2,角OAB=角OAE2 なので合同で、

 角AOE2=角AOB=120°、角OE2A=30°、

 OE2=OB=4cm

とわかり、角XOE2=360-120=240°です。

 

以上より、E1(8cm、60°)、E2(4cm、240°)です。

 

 

 海城中学の過去問題集は → こちら

 海城中学の他の問題は → こちら

 

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